यदि int frac{log (1+x^4)}{x^3} d x=f(x) log l | vedclass

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Question

(B) हमें समाकलन $I = \int \frac{\log (1+x^4)}{x^3} d x$ दिया गया है। खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$u = \log (1+x^4)$ और $dv = x^{-3} dx$ लें। तब $du

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$\frac{g(x)}{2}$

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(B) हमें समाकलन $I = \int \frac{\log (1+x^4)}{x^3} d x$ दिया गया है। खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$u = \log (1+x^4)$ और $dv = x^{-3} dx$ लें। तब $du = \frac{4x^3}{1+x^4} dx$ और $v = \frac{x^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2x^2}$ प्राप्त होता है। $I = -\frac{1}{2x^2} \log (1+x^4) - \int \left(-\frac{1}{2x^2}ight) \frac{4x^3}{1+x^4} dx = -\frac{1}{2x^2} \log (1+x^4) + \int \frac{2x}{1+x^4} dx$. मान लीजिए $t = x^2$,तो $dt = 2x dx$. $I = -\frac{1}{2x^2} \log (1+x^4) + \int \frac{dt}{1+t^2} = -\frac{1}{2x^2} \log (1+x^4) + 	an^{-1}(x^2) + c$. इसकी तुलना $f(x) \log \left(\frac{1}{g(x)}ight) + 	an^{-1}(h(x)) + c$ से करने पर,हमें $f(x) = \frac{1}{2x^2}$,$g(x) = 1+x^4$,और $h(x) = x^2$ प्राप्त होता है। अब,$f\left(\frac{1}{x}ight) = \frac{1}{2(1/x)^2} = \frac{x^2}{2}$. अतः $h(x) \left[f(x) + f\left(\frac{1}{x}ight)ight] = x^2 \left(\frac{1}{2x^2} + \frac{x^2}{2}ight) = \frac{1}{2} + \frac{x^4}{2} = \frac{1+x^4}{2} = \frac{g(x)}{2}$.

यदि $\int \frac{\log (1+x^4)}{x^3} d x=f(x) \log \left(\frac{1}{g(x)}\right)+\tan ^{-1}(h(x))+c$ है,तो $h(x)\left[f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)\right]=$

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यदि $\int \frac{(x^2-1)}{(x+1)^2 \sqrt{x(x^2+x+1)}} dx = A \tan^{-1}\left(\sqrt{\frac{x^2+x+1}{x}}\right) + C$, जहाँ $C$ एक स्थिरांक है, तो $A$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int \frac{x^4+1}{x^6+1} dx = $

$\int \frac{x^2+1}{x^4-x^2+1} \, dx =$

$\int \frac{x - 1}{(x + 1) \sqrt{x(x^2 + x + 1)}} dx =$

यदि $0 < a < 1$ है,तो $\int \frac{dx}{1-2a \cos x + a^2} =$

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