यदि int frac{x^{frac{1}{2}}}{sqrt{a^3-x^3}} d | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{a^3-x^3}} dx$ है। $t = x^{\frac{3}{2}}$ प्रतिस्थापित करने पर,$dt = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} dx$ प्र

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$\frac{2}{3} \sin^{-1}\left(\left(\frac{x}{a}\right)^{\frac{3}{2}}\right)$

Vedclass · Answer

(C) माना $I = \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{a^3-x^3}} dx$ है। $t = x^{\frac{3}{2}}$ प्रतिस्थापित करने पर,$dt = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} dx$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $x^{\frac{1}{2}} dx = \frac{2}{3} dt$। साथ ही,$t^2 = (x^{\frac{3}{2}})^2 = x^3$। इन मानों को समाकलन में रखने पर: $I = \int \frac{\frac{2}{3} dt}{\sqrt{a^3 - t^2}} = \frac{2}{3} \int \frac{dt}{\sqrt{(\sqrt{a^3})^2 - t^2}}$। मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{du}{\sqrt{A^2 - u^2}} = \sin^{-1}(\frac{u}{A}) + c$ का उपयोग करने पर: $I = \frac{2}{3} \sin^{-1}\left(\frac{t}{\sqrt{a^3}}\right) + c$। $t = x^{\frac{3}{2}}$ वापस रखने पर: $I = \frac{2}{3} \sin^{-1}\left(\frac{x^{\frac{3}{2}}}{a^{\frac{3}{2}}}\right) + c = \frac{2}{3} \sin^{-1}\left(\left(\frac{x}{a}\right)^{\frac{3}{2}}\right) + c$। अतः,$P(x) = \frac{2}{3} \sin^{-1}\left(\left(\frac{x}{a}\right)^{\frac{3}{2}}\right)$।

यदि $\int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{a^3-x^3}} dx = P(x) + c$ है,तो $P(x) =$

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