यदि int frac{2 cos x+3 sin x}{4 cos x+5 sin x | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int \frac{2 \cos x+3 \sin x}{4 \cos x+5 \sin x} dx$. अंश को इस प्रकार व्यक्त करते हैं: $2 \cos x + 3 \sin x = A(4 \cos x + 5 \sin x) +

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$\frac{-2}{41}$

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(B) माना $I = \int \frac{2 \cos x+3 \sin x}{4 \cos x+5 \sin x} dx$. अंश को इस प्रकार व्यक्त करते हैं: $2 \cos x + 3 \sin x = A(4 \cos x + 5 \sin x) + B \frac{d}{dx}(4 \cos x + 5 \sin x)$. $2 \cos x + 3 \sin x = A(4 \cos x + 5 \sin x) + B(-4 \sin x + 5 \cos x)$. $2 \cos x + 3 \sin x = (4A + 5B) \cos x + (5A - 4B) \sin x$. गुणांकों की तुलना करने पर: $4A + 5B = 2$ और $5A - 4B = 3$. पहले समीकरण को $4$ से और दूसरे को $5$ से गुणा करने पर: $16A + 20B = 8$ और $25A - 20B = 15$. दोनों को जोड़ने पर: $41A = 23 \implies A = \frac{23}{41}$. $A$ का मान $4A + 5B = 2$ में रखने पर: $4(\frac{23}{41}) + 5B = 2 \implies \frac{92}{41} + 5B = 2 \implies 5B = 2 - \frac{92}{41} = \frac{82-92}{41} = \frac{-10}{41} \implies B = \frac{-2}{41}$. अतः,$\int \frac{2 \cos x+3 \sin x}{4 \cos x+5 \sin x} dx = \int \left( \frac{23}{41} + \frac{-2}{41} \frac{-4 \sin x + 5 \cos x}{4 \cos x + 5 \sin x} \right) dx$. $= \frac{23}{41} x - \frac{2}{41} \log |4 \cos x + 5 \sin x| + c$. दिए गए रूप से तुलना करने पर,$K = \frac{-2}{41}$.

यदि $\int \frac{2 \cos x+3 \sin x}{4 \cos x+5 \sin x} dx = \left(\frac{23}{41}\right) x + K \log |4 \cos x+5 \sin x| + c$ है,तो $K$ का मान ज्ञात कीजिए।

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