જો $\int_0^{2 \pi}\left(\sin ^4 x+\cos ^4 x\right) d x=K \int_0^\pi \sin ^2 x d x+L \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos ^2 x d x$ અને $K, L \in N$ હોય,તો શક્ય ક્રમયુક્ત જોડીઓ $(K, L)$ ની સંખ્યા કેટલી છે?

જો $I_1 = \int_0^{\pi / 2} \frac{x}{\sin x} dx$ અને $I_2 = \int_0^1 \frac{\tan^{-1} x}{x} dx$ હોય,તો $I_1 : I_2$ શું થાય?

ધારો કે ${I_1} = \int\limits_0^1 {\frac{{{e^x}}}{{1 + x}}} \,dx$ અને ${I_2} = \int\limits_0^1 {\frac{{{x^2}}}{{{e^{{x^3}}}\left( {2 - {x^3}} \right)}}} \,dx$ હોય,તો $\frac{{{I_1}}}{{{I_2}}}$ ની કિંમત શોધો.

$ 6\int_{0}^{\pi}|(\sin 3x+\sin 2x+\sin x)| dx $ ની કિંમત .... છે.

એક બહુપદી વિધેય $f(x)$ જે શરતો $f(x) = [f'(x)]^2$ અને $\int_{0}^{1} f(x) dx = \frac{19}{12}$ નું પાલન કરે છે,તે હોઈ શકે:

$x, t \in R$ માટે,ધારો કે $p_t(x) = (\sin t) x^2 - (2 \cos t) x + \sin t$ એ $x$ માં ચલ સહગુણકો ધરાવતી દ્વિઘાત બહુપદીઓનું કુટુંબ છે. ધારો કે $A(t) = \int_0^1 p_t(x) dx$. નીચેનામાંથી કયા વિધાનો સાચા છે?
$I$. બધા $t$ માટે $A(t) < 0$.
$II$. $A(t)$ ને અનંત સંખ્યામાં નિર્ણાયક બિંદુઓ છે.
$III$. અનંત સંખ્યામાં $t$ માટે $A(t) = 0$.
$IV$. બધા $t$ માટે $A'(t) < 0$.