यदि int_0^{2 pi} |x sin x| , dx = k pi है,तो | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int_0^{2 \pi} |x \sin x| \, dx$. अंतराल $[0, 2 \pi]$ में $x \ge 0$ है,इसलिए $I = \int_0^{2 \pi} x |\sin x| \, dx$ होगा। अंतराल $[0, \pi

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$4$

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(D) माना $I = \int_0^{2 \pi} |x \sin x| \, dx$. अंतराल $[0, 2 \pi]$ में $x \ge 0$ है,इसलिए $I = \int_0^{2 \pi} x |\sin x| \, dx$ होगा। अंतराल $[0, \pi]$ में $\sin x \ge 0$ और अंतराल $[\pi, 2 \pi]$ में $\sin x \le 0$ है। अतः,$I = \int_0^{\pi} x \sin x \, dx - \int_{\pi}^{2 \pi} x \sin x \, dx$. खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,$\int x \sin x \, dx = -x \cos x + \sin x$. प्रथम समाकलन का मान: $\int_0^{\pi} x \sin x \, dx = [-x \cos x + \sin x]_0^{\pi} = (-\pi(-1) + 0) - (0 + 0) = \pi$. द्वितीय समाकलन का मान: $\int_{\pi}^{2 \pi} x \sin x \, dx = [-x \cos x + \sin x]_{\pi}^{2 \pi} = (-2 \pi(1) + 0) - (-\pi(-1) + 0) = -2 \pi - \pi = -3 \pi$. इसलिए,$I = \pi - (-3 \pi) = 4 \pi$. दिया गया है कि $\int_0^{2 \pi} |x \sin x| \, dx = k \pi$,अतः $4 \pi = k \pi$,जिसका अर्थ है कि $k = 4$.

यदि $\int_0^{2 \pi} |x \sin x| \, dx = k \pi$ है,तो $k =$

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