$\int_0^\pi \sin^{50} x \cos^{49} x \, dx$ का मान है

यदि $(a, b)$ उस त्रिभुज का लंबकेंद्र है जिसके शीर्ष $(1, 2), (2, 3)$ और $(3, 1)$ हैं,और $I_1 = \int_{a}^{b} x \sin(4x - x^2) dx$,$I_2 = \int_{a}^{b} \sin(4x - x^2) dx$ है,तो $36 \frac{I_1}{I_2}$ का मान ज्ञात कीजिए:

मान लीजिए $f(x)$,$(a, b)$ पर समाकलनीय है,जहाँ $b > a > 0$ है। यदि $I_1 = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} f(\tan \theta + \cot \theta) \sec^2 \theta \, d\theta$ और $I_2 = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} f(\tan \theta + \cot \theta) \csc^2 \theta \, d\theta$ है,तो अनुपात $\frac{I_1}{I_2}$ है:

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (x^{3} + x \cos x + \tan^{5} x + 1) dx$ का मान क्या है?

मान लीजिए $f(x) = \frac{\sin x}{x}$,तो $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x) f\left(\frac{\pi}{2} - x\right) dx =$

मान लीजिए $[t]$ उस महत्तम पूर्णांक को दर्शाता है जो $t$ से कम या उसके बराबर है। तो समाकलन $\int_{-3}^{101}\left([\sin (\pi x)]+e^{[\cos (2 \pi x)]}\right) d x$ का मान ज्ञात कीजिए।