मान लीजिए [t] उस महत्तम पूर्णांक को दर्शाता ह | vedclass

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Question

(B) मान लीजिए $I = \int_{-3}^{101} ([\sin(\pi x)] + e^{[\cos(2\pi x)]}) dx$.चूंकि $[\sin(\pi x)]$ का आवर्तकाल $2$ है और $e^{[\cos(2\pi x)]}$ का आवर्तक

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$\frac{52}{e}$

Vedclass · Answer

(B) मान लीजिए $I = \int_{-3}^{101} ([\sin(\pi x)] + e^{[\cos(2\pi x)]}) dx$.चूंकि $[\sin(\pi x)]$ का आवर्तकाल $2$ है और $e^{[\cos(2\pi x)]}$ का आवर्तकाल $1$ है,इसलिए फलन $f(x) = [\sin(\pi x)] + e^{[\cos(2\pi x)]}$ का आवर्तकाल $2$ है।अंतराल की लंबाई $101 - (-3) = 104$ है। आवर्तकाल $2$ होने के कारण,$104$ लंबाई के अंतराल पर समाकलन,$[0, 2]$ पर समाकलन का $52$ गुना होगा।$I = 52 \int_{0}^{2} ([\sin(\pi x)] + e^{[\cos(2\pi x)]}) dx$.$[\sin(\pi x)]$ के लिए: $[0, 1]$ में,$\sin(\pi x) \in [0, 1]$,इसलिए $[\sin(\pi x)] = 0$। $[1, 2]$ में,$\sin(\pi x) \in [-1, 0]$,इसलिए $[\sin(\pi x)] = -1$। अतः,$\int_{0}^{2} [\sin(\pi x)] dx = \int_{1}^{2} -1 dx = -1$.$e^{[\cos(2\pi x)]}$ के लिए: जब $x \in [0, 1/4] \cup [3/4, 5/4] \cup [7/4, 2]$ होता है,तब $\cos(2\pi x) \ge 0$,इसलिए $[\cos(2\pi x)] = 0$ और $e^0 = 1$। जब $\cos(2\pi x) $\int_{0}^{2} e^{[\cos(2\pi x)]} dx = (1/4 + 1/2 + 1/4) 	imes 1 + (1/2 + 1/2) 	imes (1/e) = 1 + 1/e$.$I = 52 	imes (-1 + 1 + 1/e) = 52/e$.

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