यदि int_0^{2a} f(x) , dx = 2 int_0^a f(x) , d | vedclass

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Question

(B) हमें गुणधर्म $\int_0^{2a} f(x) \, dx = \int_0^a f(x) \, dx + \int_a^{2a} f(x) \, dx$ दिया गया है। दूसरे समाकलन $\int_a^{2a} f(x) \, dx$ में $x = 2

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$f(2a - x) = f(x)$

Vedclass · Answer

(B) हमें गुणधर्म $\int_0^{2a} f(x) \, dx = \int_0^a f(x) \, dx + \int_a^{2a} f(x) \, dx$ दिया गया है। दूसरे समाकलन $\int_a^{2a} f(x) \, dx$ में $x = 2a - t$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = -dt$ प्राप्त होता है। जब $x = a$ है,तो $t = a$,और जब $x = 2a$ है,तो $t = 0$ है। अतः,$\int_a^{2a} f(x) \, dx = \int_a^0 f(2a - t) (-dt) = \int_0^a f(2a - t) \, dt = \int_0^a f(2a - x) \, dx$। इसे वापस प्रतिस्थापित करने पर,$\int_0^{2a} f(x) \, dx = \int_0^a f(x) \, dx + \int_0^a f(2a - x) \, dx = \int_0^a [f(x) + f(2a - x)] \, dx$। चूंकि $\int_0^{2a} f(x) \, dx = 2 \int_0^a f(x) \, dx$ दिया गया है,इसलिए $\int_0^a [f(x) + f(2a - x)] \, dx = \int_0^a 2f(x) \, dx$ होगा। यह समानता तभी सत्य है यदि $f(2a - x) = f(x)$ हो।

यदि $\int_0^{2a} f(x) \, dx = 2 \int_0^a f(x) \, dx$ है,तो:

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