यदि I_n = int_0^{pi / 2} sin^n(x) dx और I_n = | vedclass

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Question

(B) हमें दिया गया है $I_n = \int_0^{\pi / 2} \sin^n(x) dx$। खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,मान लीजिए $u = \sin^{n-1}(x)$ और $dv

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$\frac{n-1}{n}$

Vedclass · Answer

(B) हमें दिया गया है $I_n = \int_0^{\pi / 2} \sin^n(x) dx$। खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,मान लीजिए $u = \sin^{n-1}(x)$ और $dv = \sin(x) dx$। तब $du = (n-1) \sin^{n-2}(x) \cos(x) dx$ और $v = -\cos(x)$। $I_n = [-\sin^{n-1}(x) \cos(x)]_0^{\pi / 2} + \int_0^{\pi / 2} (n-1) \sin^{n-2}(x) \cos^2(x) dx$। चूंकि $\cos(\pi/2) = 0$ और $\sin(0) = 0$ है,इसलिए सीमा पद $0$ हो जाएगा। $I_n = (n-1) \int_0^{\pi / 2} \sin^{n-2}(x) (1 - \sin^2(x)) dx$। $I_n = (n-1) \int_0^{\pi / 2} \sin^{n-2}(x) dx - (n-1) \int_0^{\pi / 2} \sin^n(x) dx$। $I_n = (n-1) I_{n-2} - (n-1) I_n$। $I_n + (n-1) I_n = (n-1) I_{n-2}$। $n I_n = (n-1) I_{n-2}$। $I_n = \frac{n-1}{n} I_{n-2}$। इसकी तुलना $I_n = k I_{n-2}$ से करने पर,हमें $k = \frac{n-1}{n}$ प्राप्त होता है। अतः,विकल्प $B$ सही है।

यदि $I_n = \int_0^{\pi / 2} \sin^n(x) dx$ और $I_n = (k) I_{n-2}$ है,तो $k$ का मान क्या होगा?

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