मान लीजिए I(R) = int_0^R e^{-R sin x} dx, जहा | vedclass

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Question

(D) फलन $f(x) = \sin x$ पर विचार करें। अंतराल $[0, \pi/2]$ पर, जॉर्डन की असमिका के अनुसार हम जानते हैं कि $\sin x \geq \frac{2x}{\pi}$ है।चूंकि $R > 0

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$I(R)$ और $\frac{\pi}{2R}(1 - e^{-R})$ की तुलना नहीं की जा सकती

Vedclass · Answer

(D) फलन $f(x) = \sin x$ पर विचार करें। अंतराल $[0, \pi/2]$ पर, जॉर्डन की असमिका के अनुसार हम जानते हैं कि $\sin x \geq \frac{2x}{\pi}$ है।चूंकि $R > 0$ है, हमारे पास $-R \sin x \leq -R \frac{2x}{\pi}$ है।अतः, $e^{-R \sin x} \leq e^{-2Rx/\pi}$ है।दोनों पक्षों का $0$ से $\pi/2$ तक समाकलन करने पर $\int_0^{\pi/2} e^{-R \sin x} dx \leq \int_0^{\pi/2} e^{-2Rx/\pi} dx = \frac{\pi}{2R}(1 - e^{-R})$ प्राप्त होता है।हालाँकि, समाकलन $I(R)$ को $0$ से $R$ तक परिभाषित किया गया है। बड़े $R$ के लिए, समाकलन का व्यवहार $x=0$ के निकट के क्षेत्र द्वारा निर्धारित होता है जहाँ $\sin x \approx x$ होता है।विकास दरों और समाकलन की सीमाओं की तुलना करने पर, यह देखा गया है कि सामान्य $R > 0$ के लिए, $I(R)$ और व्यंजक $\frac{\pi}{2R}(1 - e^{-R})$ के मान सभी $R$ के लिए एक सुसंगत असमिका नहीं बनाए रखते हैं, जिससे वे सीधे तौर पर तुलना करने योग्य नहीं हैं।

मान लीजिए $I(R) = \int_0^R e^{-R \sin x} dx$, जहाँ $R > 0$ है। तो,

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