यदि x log x frac{dy}{dx} + y = log x^2 और y(e | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण $x \log x \frac{dy}{dx} + y = 2 \log x$ है। $x \log x$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x \log x} y = \frac{2}{x

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$\frac{3}{2}$

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(D) दिया गया अवकल समीकरण $x \log x \frac{dy}{dx} + y = 2 \log x$ है। $x \log x$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x \log x} y = \frac{2}{x}$ प्राप्त होता है। यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{1}{x \log x}$ और $Q = \frac{2}{x}$ है। समाकलन गुणक $IF = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x \log x} dx} = e^{\log(\log x)} = \log x$ है। व्यापक हल $y \cdot IF = \int Q \cdot IF dx + C$ है। $y \log x = \int \frac{2}{x} \cdot \log x dx + C$. माना $u = \log x$,तो $du = \frac{1}{x} dx$ है। $y \log x = \int 2u du + C = u^2 + C = (\log x)^2 + C$. दिया गया है कि $y(e) = 0$,इसलिए $0 \cdot \log e = (\log e)^2 + C$,जिसका अर्थ है $0 = 1 + C$,अर्थात $C = -1$। अतः,$y \log x = (\log x)^2 - 1$। $x = e^2$ के लिए,$y \log(e^2) = (\log e^2)^2 - 1$। $y(2) = (2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3$। $2y = 3$,इसलिए $y = \frac{3}{2}$।

यदि $x \log x \frac{dy}{dx} + y = \log x^2$ और $y(e) = 0$ है,तो $y(e^2) = $

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