જો $\vec{a}=\frac{3}{2} \hat{k}$ અને $\vec{b}=\frac{2 \hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}}{2}$ હોય,તો $\vec{a}+\vec{b}$ અને $\vec{a}-\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો: ($^{\circ}$ માં)

$\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ એ શૂન્યેતર સદિશો છે જેથી $\bar{a}$ એ $\bar{b}$ અને $\bar{c}$ ને લંબ છે,$|\bar{a}|=1, |\bar{b}|=2, |\bar{c}|=1$ અને $\bar{b} \cdot \bar{c}=1$. એક શૂન્યેતર સદિશ $\bar{d}$ એ $\bar{a}+\bar{b}$ અને $2\bar{b}-\bar{c}$ સાથે સમતલીય છે. જો $\bar{d} \cdot \bar{a}=1$ હોય,તો $|\bar{d}|^2=$ (નોંધો કે જ્યારે આપણે $\bar{d}=x(\bar{a}+\bar{b})+y(2\bar{b}-\bar{c})$ લખીએ ત્યારે $x$ અને $y$ એ પ્રાચલો છે)

જો $\theta$ એ સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો હોય અને $|\vec{a} \times \vec{b}| = \vec{a} \cdot \vec{b}$ હોય,તો $\theta = $

ધારો કે એક એકમ સદિશ $\hat{u}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}$ એ સદિશો $\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{i}+\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{k}, \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{j}+\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{k}$ અને $\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{i}+\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{j}$ સાથે અનુક્રમે $\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{3}$ અને $\frac{2 \pi}{3}$ ખૂણા બનાવે છે. જો $\overrightarrow{v}=\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{i}+\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{j}+\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{k}$ હોય,તો $|\hat{u}-\overrightarrow{v}|^2$ ની કિંમત શોધો.

જો સદિશો $\vec{AB} = p \hat{i} + q \hat{j} + r \hat{k}$, $\vec{AC} = s \hat{i} + 3 \hat{j} + 4 \hat{k}$, અને $\vec{CB} = 3 \hat{i} + \hat{j} - 2 \hat{k}$ એ $\triangle ABC$ બનાવે છે, તો $p, q, r$ અને $s$ ની કિંમતો શોધો જેથી $\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $5 \sqrt{6}$ થાય.

જો $a = i + 2j - 3k$ અને $b = 3i - j + 2k$ હોય,તો સદિશો $a + b$ અને $a - b$ વચ્ચેનો ખૂણો ડિગ્રીમાં શોધો.