જો $PQ + QR = (2\lambda^2 - 5)RP$ હોય,તો $\lambda$ ની કિંમત શોધો.

એક સદિશ $\vec{a}$ ના લંબકોણીય કાર્તેઝિયન યામ પદ્ધતિના સાપેક્ષ ઘટકો $2p$ અને $1$ છે. આ પદ્ધતિને ઉગમબિંદુની આસપાસ અમુક ખૂણે ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં ફેરવવામાં આવે છે. જો નવી પદ્ધતિના સાપેક્ષ $\vec{a}$ ના ઘટકો $p+1$ અને $1$ હોય,તો:

$6 \overrightarrow{a}-4 \overrightarrow{b}+4 \overrightarrow{c}$ અને $-4 \overrightarrow{c}$ બિંદુઓને જોડતી રેખા અને $-\overrightarrow{a}-2 \overrightarrow{b}-3 \overrightarrow{c}$ અને $\overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}-5 \overrightarrow{c}$ બિંદુઓને જોડતી રેખા કયા બિંદુએ છેદે છે?

જો $\hat{i}+4 \hat{j}+3 \hat{k}$,$\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$,અને $3 \hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$ એ અનુક્રમે $A$,$B$,અને $C$ ના સ્થાન સદિશો હોય અને જો $D$ અને $E$ એ બાજુઓ $BC$ અને $AC$ ના મધ્યબિંદુઓ હોય,તો $\overrightarrow{DE}$ બરાબર શું થાય?

સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની બે પાસપાસેની બાજુઓ $2 \hat{i}-4 \hat{j}+5 \hat{k}$ અને $\hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}$ છે,તો તેના વિકર્ણને સમાંતર એકમ સદિશ શોધો.

જો $(\alpha, \beta, \gamma)$ એ વાસ્તવિક સંખ્યાઓની ત્રિપુટી હોય જે $\hat{i}-2 \hat{j}+5 \hat{k}=\alpha(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})+\beta(\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k})+\gamma(2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k})$ નું સમાધાન કરે છે, તો $\alpha^2-\beta^2+\gamma^2=$