જો $x, y$ અને $z$ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યાઓ હોય અને $\vec{a}=x \hat{i}+2 \hat{j}, \vec{b}=y \hat{j}+3 \hat{k}$ અને $\vec{c}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}$ એવા હોય કે જેથી $\vec{a} \times \vec{b}=z \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k}$ થાય,તો $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$ ની કિંમત શોધો.

જો $\overline{a}=a_1 \hat{i}+a_2 \hat{j}+a_3 \hat{k}, \overline{b}=b_1 \hat{i}+b_2 \hat{j}+b_3 \hat{k}$ અને $\overline{c}=c_1 \hat{i}+c_2 \hat{j}+c_3 \hat{k}$ એ શૂન્યતર અસમતલીય સદિશો હોય અને $m$ એ શૂન્યતર અદિશ એવી રીતે હોય કે જેથી $[m\overline{a}+\overline{b} \quad m\overline{b}+\overline{c} \quad m\overline{c}+\overline{a}] = 28[\overline{a} \quad \overline{b} \quad \overline{c}]$ થાય,તો $m$ ની કિંમત શોધો.

જો સદિશો $p \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\hat{i}+q \hat{j}+\hat{k}$ અને $\hat{i}+\hat{j}+r \hat{k}$ $(p \neq q \neq r \neq 1)$ સમતલીય હોય,તો $pqr-(p+q+r)$ ની કિંમત શોધો.

જો એક સમાંતર ફલક (parallelepiped) નું ઘનફળ,જેની સહ-અંતિમ ધાર સદિશો $\overrightarrow{a} = \hat{i} + \hat{j} + n\hat{k}$,$\overrightarrow{b} = 2\hat{i} + 4\hat{j} - n\hat{k}$ અને $\overrightarrow{c} = \hat{i} + n\hat{j} + 3\hat{k}$ $(n \geq 0)$ દ્વારા આપવામાં આવેલ છે,તે $158$ ઘન એકમ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

સમાંતરબાજુ ફલક (parallelepiped) નું ઘનફળ શોધો જેની પાસપાસેની ધાર સદિશો $2i - 3j + 4k$,$i + 2j - 2k$,અને $3i - j + k$ દ્વારા દર્શાવેલ છે.

ધારો કે $\vec{a}=\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}$ અને $\vec{b}=\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$. જો $\vec{c}$ એવો સદિશ હોય કે જેથી $\vec{a} \cdot \vec{c}=11$,$\vec{b} \cdot(\vec{a} \times \vec{c})=27$ અને $\vec{b} \cdot \vec{c}=-\sqrt{3}|\vec{b}|$,તો $|\vec{a} \times \vec{c}|^2$ ની કિંમત શોધો.