यदि $x, y$ और $z$ शून्येतर वास्तविक संख्याएँ हैं और $\vec{a}=x \hat{i}+2 \hat{j}, \vec{b}=y \hat{j}+3 \hat{k}$ तथा $\vec{c}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}$ इस प्रकार हैं कि $\vec{a} \times \vec{b}=z \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k}$ है,तो $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $a, b, c$ तीन भिन्न वास्तविक संख्याएँ हैं,जिनमें से कोई भी $1$ के बराबर नहीं है। यदि सदिश $a \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\hat{i}+b \hat{j}+\hat{k}$ और $\hat{i}+\hat{j}+ c \hat{k}$ समतलीय हैं,तो $\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1-b}+\frac{1}{1-c}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$, $2 \hat{i}-\hat{k}$, $\hat{j}+2 \hat{k}$ और $\hat{i}+\hat{j}+\lambda \hat{k}$ स्थिति सदिश वाले बिंदु समतलीय हैं, तो सदिश $6 \lambda \hat{i}-3 \hat{j}+6 \hat{k}$ का परिमाण ज्ञात कीजिए।

कथन $1$: यदि बिंदु $(1, 2, 2), (2, 1, 2), (2, 2, z)$ और $(1, 1, 1)$ समतलीय हैं,तो $z = 2$ है।
कथन $2$: यदि $4$ बिंदु $P, Q, R$ और $S$ समतलीय हैं,तो चतुष्फलक $PQRS$ का आयतन $0$ होता है।

$\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ सह-अंतिम किनारों वाले चतुष्फलक का आयतन $\frac{64}{3}$ घन इकाई है। तो $\bar{a}+\bar{b}, \bar{b}+\bar{c}, \bar{c}+\bar{a}$ सदिशों द्वारा दिए गए सह-अंतिम किनारों वाले समांतर षट्फलक का आयतन ... घन इकाई है।

मान लीजिए $\overrightarrow{OP} = \frac{\alpha-1}{\alpha} \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,$\overrightarrow{OQ} = \hat{i} + \frac{\beta-1}{\beta} \hat{j} + \hat{k}$ और $\overrightarrow{OR} = \hat{i} + \hat{j} + \frac{1}{2} \hat{k}$ तीन सदिश हैं,जहाँ $\alpha, \beta \in \mathbb{R} - \{0\}$ और $O$ मूल बिंदु को दर्शाता है। यदि $(\overrightarrow{OP} \times \overrightarrow{OQ}) \cdot \overrightarrow{OR} = 0$ है और बिंदु $(\alpha, \beta, 2)$ समतल $3x + 3y - z + l = 0$ पर स्थित है,तो $l$ का मान ज्ञात कीजिए।