यदि $z_1$ और $z_2$ समीकरण $x^2+2x+2=0$ के मूल हैं,तो $\frac{-2^{11}(z_1+1+3i)^{11}}{2^5(z_2+1-3i)^{11}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक सम्मिश्र संख्या $z$ के लिए, $\operatorname{Re}(z)$ को $z$ का वास्तविक भाग मानिए। मान लीजिए $S$ उन सभी सम्मिश्र संख्याओं $z$ का समुच्चय है जो $z^4 - |z|^4 = 4iz^2$ को संतुष्ट करती हैं, जहाँ $i = \sqrt{-1}$ है। तब $|z_1 - z_2|^2$ का न्यूनतम संभव मान, जहाँ $z_1, z_2 \in S$ और $\operatorname{Re}(z_1) > 0$ तथा $\operatorname{Re}(z_2) < 0$ है, क्या होगा:

यदि $1+2i$ समीकरण $x^4-3x^3+8x^2-7x+5=0$ का एक मूल है,तो अन्य मूलों के वर्गों का योग क्या है?

$\theta \in[-\pi, 2 \pi]$ के उन सभी संभावित मानों का योग, जिनके लिए $\frac{1+i \cos \theta}{1-2 i \cos \theta}$ शुद्ध काल्पनिक है, बराबर है ($\pi$ में)

$\omega$ इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है और यदि $Z$ एक ऐसी सम्मिश्र संख्या है जो $|Z-1| \leq 2$ और $|\omega^2 Z-1-\omega|=a$ को संतुष्ट करती है,तो $a$ के संभावित मानों का समुच्चय क्या है?

मान लीजिए कि $k \in R$ के उन सभी मानों का समुच्चय, जिनके लिए समीकरण $z(\bar{z} + 2 + i) + k(2 + 3i) = 0, z \in C$, का कम से कम एक हल है, अंतराल $[\alpha, \beta]$ है। तो $9(\alpha + \beta)$ का मान ज्ञात कीजिए: