मान लीजिए कि k in R के उन सभी मानों का समुच्च | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए $z = x+iy$. समीकरण $z\bar{z} + z(2+i) + k(2+3i) = 0$ है।
$z = x+iy$ और $\bar{z} = x-iy$ रखने पर, हमें $(x^2 + y^2) + (x+iy)(2+i) + 2k +

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-$10$

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(A) मान लीजिए $z = x+iy$. समीकरण $z\bar{z} + z(2+i) + k(2+3i) = 0$ है।
$z = x+iy$ और $\bar{z} = x-iy$ रखने पर, हमें $(x^2 + y^2) + (x+iy)(2+i) + 2k + 3ki = 0$ प्राप्त होता है।
पदों का विस्तार करने पर: $x^2 + y^2 + 2x + ix + 2iy - y + 2k + 3ki = 0$.
वास्तविक और काल्पनिक भागों को अलग करने पर:
वास्तविक भाग: $x^2 + y^2 + 2x - y + 2k = 0$
काल्पनिक भाग: $x + 2y + 3k = 0 \Rightarrow x = -2y - 3k$.
$x$ का मान वास्तविक भाग के समीकरण में रखने पर:
$(-2y-3k)^2 + y^2 + 2(-2y-3k) - y + 2k = 0$
$4y^2 + 12yk + 9k^2 + y^2 - 4y - 6k - y + 2k = 0$
$5y^2 + y(12k - 5) + 9k^2 - 4k = 0$.
$y$ के वास्तविक होने के लिए, विविक्तकर $D \ge 0$:
$D = (12k - 5)^2 - 4(5)(9k^2 - 4k) \ge 0$
$144k^2 - 120k + 25 - 180k^2 + 80k \ge 0$
$-36k^2 - 40k + 25 \ge 0 \Rightarrow 36k^2 + 40k - 25 \le 0$.
$36k^2 + 40k - 25 = 0$ के मूल $k = \frac{-40 \pm \sqrt{1600 - 4(36)(-25)}}{72} = \frac{-40 \pm \sqrt{5200}}{72}$ हैं।
अतः, $\alpha + \beta = -\frac{40}{36} = -\frac{10}{9}$.
इसलिए, $9(\alpha + \beta) = 9(-\frac{10}{9}) = -10$.

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