यदि $C_r$ द्विपद गुणांक ${ }^{n} C_r$ को दर्शाता है,तो $(-1) C_0^2+2 C_1^2+5 C_2^2+\ldots+(3 n-1) C_n^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $a_1, a_2, a_3, \dots, a_{100}$ धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं और $S_k$,$a_1, a_2, \dots, a_{100}$ के एक साथ $k$ लेने पर प्राप्त गुणनफलों का योग है। यदि $S_{98} S_2 \ge \lambda (a_1 a_2 \dots a_{100})$ है,तो $\lambda$ क्या है?

यदि $(ax^{2}+bx+c)(1-2x)^{26}$ के विस्तार में $x$ का गुणांक $-56$ है और $x^{2}$ तथा $x^{3}$ के गुणांक शून्य हैं, तो $a+b+c$ का मान ज्ञात कीजिए:

मान लीजिए $(1+x+x^2)^{2014} = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \ldots + a_{4028} x^{4028}$. मान लीजिए $A = a_0 - a_3 + a_6 - \ldots + a_{4026}$,$B = a_1 - a_4 + a_7 - \ldots - a_{4027}$,और $C = a_2 - a_5 + a_8 - \ldots + a_{4028}$. तो,

मान लीजिए $(7 + 4\sqrt{3})^n = p + \beta$,जहाँ $n$ और $p$ धनात्मक पूर्णांक हैं और $\beta \in (0, 1)$ है। तो $(1 - \beta)(p + \beta)$ क्या है?

अऋण पूर्णांकों $s$ और $r$ के लिए,मान लीजिए $\binom{s}{r} = \begin{cases} \frac{s!}{r!(s-r)!} & \text{यदि } r \leq s \\ 0 & \text{यदि } r > s \end{cases}$. धनात्मक पूर्णांकों $m$ और $n$ के लिए,मान लीजिए $g(m, n) = \sum_{p=0}^{m+n} \frac{f(m, n, p)}{\binom{n+p}{p}}$,जहाँ किसी भी अऋण पूर्णांक $p$ के लिए,$f(m, n, p) = \sum_{i=0}^{p} \binom{m}{i} \binom{n+i}{p} \binom{p+n}{p-i}$. तो निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन $TRUE$ है/हैं?
$(A)$ $g(m, n) = g(n, m)$ सभी धनात्मक पूर्णांकों $m, n$ के लिए
$(B)$ $g(m, n+1) = g(m+1, n)$ सभी धनात्मक पूर्णांकों $m, n$ के लिए
$(C)$ $g(2m, 2n) = 2g(m, n)$ सभी धनात्मक पूर्णांकों $m, n$ के लिए
$(D)$ $g(2m, 2n) = (g(m, n))^2$ सभी धनात्मक पूर्णांकों $m, n$ के लिए