यदि A+B+C=frac{3 pi}{2} है,तो 4 sin A sin B s | vedclass

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Question

(A) दिया है $A+B+C=\frac{3 \pi}{2} \ldots(1)$व्यंजक $E = 4 \sin A \sin B \sin C+\cos 2 A+\cos 2 B+\cos 2 C$ पर विचार करें।सर्वसमिका $\cos 2A + \cos 2B

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$-\sin (A+B+C)$

Vedclass · Answer

(A) दिया है $A+B+C=\frac{3 \pi}{2} \ldots(1)$व्यंजक $E = 4 \sin A \sin B \sin C+\cos 2 A+\cos 2 B+\cos 2 C$ पर विचार करें।सर्वसमिका $\cos 2A + \cos 2B = 2 \cos(A+B) \cos(A-B)$ और $\cos 2C = 1 - 2 \sin^2 C$ का उपयोग करते हुए:$\cos 2A + \cos 2B + \cos 2C = 2 \cos(A+B) \cos(A-B) + 1 - 2 \sin^2 C$.$(1)$ से,$A+B = \frac{3 \pi}{2} - C$,इसलिए $\cos(A+B) = \cos(\frac{3 \pi}{2} - C) = -\sin C$.यह मान रखने पर:$= 2(-\sin C) \cos(A-B) + 1 - 2 \sin^2 C$$= 1 - 2 \sin C [\cos(A-B) + \sin C]$चूंकि $\sin C = \sin(\frac{3 \pi}{2} - (A+B)) = -\cos(A+B)$:$= 1 - 2 \sin C [\cos(A-B) - \cos(A+B)]$$\cos(A-B) - \cos(A+B) = 2 \sin A \sin B$ का उपयोग करते हुए:$= 1 - 2 \sin C [2 \sin A \sin B] = 1 - 4 \sin A \sin B \sin C$.अतः,$4 \sin A \sin B \sin C + \cos 2A + \cos 2B + \cos 2C = 1$.विकल्पों की जाँच करने पर:$-\sin(A+B+C) = -\sin(\frac{3 \pi}{2}) = -(-1) = 1$.इसलिए,सही विकल्प $A$ है।

List-$I$	List-$II$
$(I) \ 3 \sin^2 x + 4 \cos^2 x - 2$	$(a) \ [\frac{1}{4}, 1]$
$(II) \ \cos^2 x + \sin^4 x$	$(b) \ [-\frac{1}{4}, \frac{1}{4}]$
$(III) \ \sin^6 x + \cos^6 x$	$(c) \ [1, 2]$
$(IV) \ \cos x \cos(\frac{2 \pi}{3} + x) \cos(\frac{2 \pi}{3} - x)$	$(d) \ [\frac{3}{4}, 1]$
	$(e) \ [0, 1]$

यदि $A+B+C=\frac{3 \pi}{2}$ है,तो $4 \sin A \sin B \sin C+\cos 2 A+\cos 2 B+\cos 2 C=$

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