यदि cos alpha + cos beta + cos gamma = 0 और s | vedclass

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Question

(B) माना $u = \cos \alpha + i \sin \alpha$,$v = \cos \beta + i \sin \beta$,और $w = \cos \gamma + i \sin \gamma$ है। दिया है $\cos \alpha + \cos \beta

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(B) माना $u = \cos \alpha + i \sin \alpha$,$v = \cos \beta + i \sin \beta$,और $w = \cos \gamma + i \sin \gamma$ है। दिया है $\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = 0$ और $\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = 0$,इसलिए $u + v + w = 0$ है। चूंकि $|u| = |v| = |w| = 1$ है,इसलिए $u \bar{u} = 1$,$v \bar{v} = 1$,और $w \bar{w} = 1$ है। $u + v + w = 0$ से,हमें $\bar{u} + \bar{v} + \bar{w} = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{1}{u} + \frac{1}{v} + \frac{1}{w} = 0$। यह सरल होकर $uv + vw + wu = 0$ बन जाता है। अब,$(u + v + w)^2 = u^2 + v^2 + w^2 + 2(uv + vw + wu) = 0$ पर विचार करें। चूंकि $uv + vw + wu = 0$ है,इसलिए $u^2 + v^2 + w^2 = 0$ है। $u^2 = \cos 2 \alpha + i \sin 2 \alpha$,$v^2 = \cos 2 \beta + i \sin 2 \beta$,और $w^2 = \cos 2 \gamma + i \sin 2 \gamma$ प्रतिस्थापित करने पर: $(\cos 2 \alpha + \cos 2 \beta + \cos 2 \gamma) + i(\sin 2 \alpha + \sin 2 \beta + \sin 2 \gamma) = 0 + 0i$। काल्पनिक भागों की तुलना करने पर,हमें $\sin 2 \alpha + \sin 2 \beta + \sin 2 \gamma = 0$ प्राप्त होता है।

यदि $\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = 0$ और $\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = 0$ है,तो $\sin 2 \alpha + \sin 2 \beta + \sin 2 \gamma = $

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