यदि $a, b, c$ इकाई सदिश हैं जैसे कि $a + b + c = 0,$ तो $a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a = $

मान लीजिए $PQR$ एक त्रिभुज है जैसे कि $\overrightarrow{PQ}=-2\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$ और $\overrightarrow{PR}=a\hat{i}+b\hat{j}-4\hat{k}$, जहाँ $a, b \in \mathbb{Z}$। मान लीजिए $S$, $QR$ पर स्थित एक बिंदु है, जो रेखाओं $PQ$ और $PR$ से समान दूरी पर है। यदि $|\overrightarrow{PR}|=9$ और $\overrightarrow{PS}=\hat{i}-7\hat{j}+2\hat{k}$ है, तो $3a-4b$ का मान . . . . . . है।

तीन सदिश $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ शर्त $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$ को संतुष्ट करते हैं। यदि $|\vec{a}|=1, |\vec{b}|=4$ और $|\vec{c}|=2$ है,तो $\mu=\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$A(\vec{a}), B(\vec{b}), C(\vec{c}), D(\vec{d})$ चार एकवृत्तीय (concyclic) बिंदु हैं, इस प्रकार कि $x \vec{a}+y \vec{b}+z \vec{c}+t \vec{d}=\vec{0}$ और $x+y+z+t=0$, जहाँ $x, y, z, t$ अचर हैं जो सभी शून्य नहीं हैं। यदि जीवाएँ $AB$ और $CD$ बिंदु $P$ पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो:

यदि $|\bar{a}|=2, |\bar{b}|=3$ और $\bar{a}, \bar{b}$ परस्पर लंबवत सदिश हैं,तो उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष $0, \bar{a}+2\bar{b}, \bar{a}-2\bar{b}$ हैं।

यदि $\vec{a} = 4\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$, $\vec{b} = 2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{c} = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k}$ है, तो $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{b} + \vec{c}) =$ क्या होगा?