यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{a \sin x - b x + c x^2 + x^3}{2 \log(1+x) - 2x + x^2 - \frac{2}{3}x^3} &, x \neq 0 \\ 0 &, x=0 \end{cases}$ बिंदु $x=0$ पर सतत है,तो $a, b, c$ के बीच संबंध ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ इस प्रकार परिभाषित है: $f(x) = \begin{cases} [e^x], & x < 0 \\ a e^x + [x - 1], & 0 \leq x < 1 \\ b + [\sin(\pi x)], & 1 \leq x < 2 \\ [e^{-x}] - c, & x \geq 2 \end{cases}$ जहाँ $a, b, c \in R$ और $[t]$ का अर्थ $t$ से कम या उसके बराबर का महत्तम पूर्णांक है। तो,निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?

मान लीजिए $f(x) = [2x^3 - 5]$,जहाँ $[\cdot]$ महत्तम पूर्णांक फलन (Greatest Integer Function) को दर्शाता है। अंतराल $(1, 2)$ में उन बिंदुओं की संख्या ज्ञात कीजिए जहाँ फलन $f(x)$ असतत है।

मान लीजिए $f(x) = \begin{cases} (1+ax)^{1/x} & , x < 0 \\ 1+b & , x = 0 \\ \frac{(x+4)^{1/2}-2}{(x+c)^{1/3}-2} & , x > 0 \end{cases}$ $x=0$ पर सतत है। तो $e^2bc$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f:(0,1) \rightarrow R$ एक फलन है जिसे $f(x) = \sqrt{n}$ के रूप में परिभाषित किया गया है,यदि $x \in \left[\frac{1}{n+1}, \frac{1}{n}\right)$ जहाँ $n \in N$ है। मान लीजिए $g:(0,1) \rightarrow R$ एक ऐसा फलन है कि सभी $x \in (0,1)$ के लिए $\int_{x^2}^x \sqrt{\frac{1-t}{t}} dt < g(x) < 2\sqrt{x}$ है। तो $\lim_{x \rightarrow 0} f(x)g(x)$ ज्ञात कीजिए।

फलन $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^3 - 1}$,$x = 1$ पर परिभाषित नहीं है। यदि फलन $x = 1$ पर सतत (continuous) है,तो $f(1)$ का मान क्या होगा?