मान लीजिए f: R rightarrow R इस प्रकार परिभाषि | vedclass

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Question

(B) सांतत्य की जाँच करने के लिए,हम बिंदुओं $x = 0, 1, 2$ पर विचार करते हैं।$x = 0$ पर:$f(0^-) = \lim_{x 	o 0^-} [e^x] = 0$ (क्योंकि $x < 0$ के लिए $e

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यदि $f$ ठीक एक बिंदु पर असतत है,तो $a + b + c = 1$ है।

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(B) सांतत्य की जाँच करने के लिए,हम बिंदुओं $x = 0, 1, 2$ पर विचार करते हैं।$x = 0$ पर:$f(0^-) = \lim_{x 	o 0^-} [e^x] = 0$ (क्योंकि $x $f(0^+) = a e^0 + [0 - 1] = a - 1$.$x = 0$ पर सांतत्य के लिए,$a - 1 = 0 \implies a = 1$ होना चाहिए।$x = 1$ पर:$f(1^-) = a e^1 + [1 - 1] = a e + 0 = a e$.$f(1^+) = b + [\sin(\pi)] = b + 0 = b$.चूँकि $a = 1$ है,$f(1^-) = e \approx 2.718$ और $f(1^+) = b$ है। चूँकि $e$ एक पूर्णांक नहीं है,इसलिए $f$ किसी भी $b$ के लिए $x = 1$ पर असतत है।$x = 2$ पर:$f(2^-) = b + [\sin(2\pi)] = b + 0 = b$.$f(2^+) = [e^{-2}] - c = 0 - c = -c$.$x = 2$ पर सांतत्य के लिए,$b = -c \implies b + c = 0$ होना चाहिए।इस प्रकार,$a, b, c$ के किसी भी मान के लिए $f$ बिंदु $x = 1$ पर असतत है। यदि हम $a = 1$ और $b + c = 0$ लेते हैं,तो $f$ केवल $x = 1$ पर असतत रहता है। इस स्थिति में,$a + b + c = 1 + (b + c) = 1 + 0 = 1$।

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मान लीजिए $f(x) = [x^2 - x] + |-x + [x]|$,जहाँ $x \in R$ और $[t]$,$t$ से कम या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक को दर्शाता है। तो,$f$ है

निम्नलिखित में से कौन सा फलन $x = 0$ पर परिभाषित नहीं है और $x = 0$ पर हटाने योग्य असांतत्य (removable discontinuity) रखता है?

दर्शाइए कि $f(x) = \sin(x^{2})$ द्वारा परिभाषित फलन एक संतत फलन है।

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