मान लीजिए f, g: R rightarrow R ऐसे फलन हैं जो | vedclass

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Question

(B) $f(x)$ के लिए: $\lim_{x 	o 0} f(x) = \lim_{x 	o 0} x \sin(1/x) = 0$, जो $f(0)$ के बराबर है, इसलिए $f(x)$, $x = 0$ पर सतत है। $x = 0$ पर अवकलनीयत

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$(i)$ और $(ii)$ दोनों सत्य हैं

Vedclass · Answer

(B) $f(x)$ के लिए: $\lim_{x 	o 0} f(x) = \lim_{x 	o 0} x \sin(1/x) = 0$, जो $f(0)$ के बराबर है, इसलिए $f(x)$, $x = 0$ पर सतत है। $x = 0$ पर अवकलनीयता के लिए, $f'(0) = \lim_{h 	o 0} \frac{h \sin(1/h) - 0}{h} = \lim_{h 	o 0} \sin(1/h)$, जिसका अस्तित्व नहीं है। अतः, $(i)$ सत्य है। $g(x) = x f(x) = x^2 \sin(1/x)$ के लिए $x 
eq 0$ और $g(0) = 0$ है। $g'(0) = \lim_{h 	o 0} \frac{h^2 \sin(1/h) - 0}{h} = \lim_{h 	o 0} h \sin(1/h) = 0$ है। अतः $g(x)$, $x = 0$ पर अवकलनीय है। $x 
eq 0$ के लिए, $g'(x) = 2x \sin(1/x) - \cos(1/x)$ है। जैसे $x 	o 0$, $\lim_{x 	o 0} g'(x) = \lim_{x 	o 0} (2x \sin(1/x) - \cos(1/x))$, जिसका अस्तित्व नहीं है क्योंकि $\cos(1/x)$ दोलन करता है। चूंकि $\lim_{x 	o 0} g'(x) 
eq g'(0)$, इसलिए $g'(x)$, $x = 0$ पर सतत नहीं है। अतः, $(ii)$ सत्य है।

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