यदि a neq b neq c, Delta_1=left|begin{array}{ | vedclass

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Question

(D) सबसे पहले, हम $\Delta_1$ को सरल करते हैं:$\Delta_1 = \left|\begin{array}{ccc}1 & a^2 & bc \ 1 & b^2 & ca \ 1 & c^2 & ab\end{array}ight|$$R_2 \

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$6(ab+bc+ca)$

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(D) सबसे पहले, हम $\Delta_1$ को सरल करते हैं:$\Delta_1 = \left|\begin{array}{ccc}1 & a^2 & bc \ 1 & b^2 & ca \ 1 & c^2 & ab\end{array}ight|$$R_2 ightarrow R_2 - R_1$ और $R_3 ightarrow R_3 - R_1$ लागू करने पर:$\Delta_1 = \left|\begin{array}{ccc}1 & a^2 & bc \ 0 & b^2-a^2 & c(a-b) \ 0 & c^2-a^2 & b(a-c)\end{array}ight| = (b-a)(c-a) \left|\begin{array}{ccc}1 & a^2 & bc \ 0 & b+a & -c \ 0 & c+a & -b\end{array}ight|$प्रथम स्तंभ के सापेक्ष विस्तार करने पर: $(b-a)(c-a) [-(b+a)b + c(c+a)] = (b-a)(c-a) [-b^2-ab+c^2+ac] = (b-a)(c-a) [(c-b)(c+b) + a(c-b)] = (b-a)(c-a)(c-b)(a+b+c) = (a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$.इसके बाद, हम $\Delta_2$ को सरल करते हैं:$\Delta_2 = \left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \ a^2 & b^2 & c^2 \ a^3 & b^3 & c^3\end{array}ight| = (a-b)(b-c)(c-a)(ab+bc+ca)$.दिया गया है कि $\frac{\Delta_1}{\Delta_2} = \frac{6}{11}$, इसलिए $\frac{(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)}{(a-b)(b-c)(c-a)(ab+bc+ca)} = \frac{a+b+c}{ab+bc+ca} = \frac{6}{11}$.अतः, $11(a+b+c) = 6(ab+bc+ca)$.

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यदि $\Delta = \begin{vmatrix} x+y+z^2 & x^2+y+z & x+y^2+z \\ z^2 & x^2 & y^2 \\ x+y & y+z & x+z \end{vmatrix}$,(जहाँ $x \neq y \neq z$ और $x, y, z \in \mathbb{R} - \{0\}$),तो $\Delta = $ . . . . . . .

यदि $\left|\begin{array}{ccc}a+b+2c & a & b \\ c & 2a+b+c & b \\ c & a & a+2b+c\end{array}\right|=2$ है,तो $a^3+b^3+c^3-3abc=$

सारणिक का मान ज्ञात कीजिए: $\left| \begin{array}{ccc} x & 4 & y + z \\ y & 4 & z + x \\ z & 4 & x + y \end{array} \right|$

सारणिकों के गुणधर्मों का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि:
$\left|\begin{array}{ccc}y+k & y & y \\ y & y+k & y \\ y & y & y+k\end{array}\right|=k^{2}(3y+k)$

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