જો $a$ અને $b$ સમાંતર સદિશો હોય,તો $[a \ c \ b] = $

ધારો કે સદિશ $\vec{a}$ એ સદિશો $\vec{b}=2 \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ અને $\vec{c}=\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ સાથે સમતલીય છે. જો $\vec{a}$ એ $\vec{d}=3 \hat{i}+2 \hat{j}+6 \hat{k}$ ને લંબ હોય,અને $|\vec{a}|=\sqrt{10}$ હોય,તો $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]+[\vec{a} \vec{b} \vec{d}]+[\vec{a} \vec{c} \vec{d}]$ ની શક્ય કિંમત કેટલી થાય?

ધારો કે $O$ ઉગમબિંદુ છે. ધારો કે $\overline{OP} = x\hat{i} + y\hat{j} - \hat{k}$ અને $\overline{OQ} = -\hat{i} + 2\hat{j} + 3x\hat{k}$,જ્યાં $x, y \in \mathbb{R}$ અને $x > 0$,એવા છે કે જેથી $|\overline{PQ}| = \sqrt{20}$ અને સદિશ $\overline{OP}$ એ $\overline{OQ}$ ને લંબ છે. જો $\overline{OR} = 3\hat{i} + z\hat{j} - 7\hat{k}$,જ્યાં $z \in \mathbb{R}$,એ $\overline{OP}$ અને $\overline{OQ}$ સાથે સમતલીય હોય,તો $x^2 + y^2 + z^2$ ની કિંમત ...... છે.

$x$ ની તે કિંમત જેના માટે સદિશો $\vec{a} = \hat{i} + x\hat{j} + \hat{k}$, $\vec{b} = \hat{j} + x\hat{k}$, અને $\vec{c} = x\hat{i} + \hat{k}$ દ્વારા બનતા સમાંતર ફલક (parallelepiped) નું ઘનફળ ન્યૂનતમ હોય, તે છે

જો કોઈ શૂન્યતર સદિશ $x$ માટે $x \cdot a = 0, x \cdot b = 0$ અને $x \cdot c = 0$ હોય,તો સાચું વિધાન કયું છે?

$[b \times c, c \times a, a \times b]$ ની કિંમત શું થાય?