જો $f(x) = \begin{cases} \frac{8}{x^3} - 6x, & x \le 1 \\ \sqrt{x} + 1, & x > 1 \end{cases}$ હોય, તો $x = 1$ આગળ $f$ એ:

ધારો કે $k$ અને $m$ એ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે જેથી વિધેય $f(x) = \begin{cases} 3x^2 + k\sqrt{x+1}, & 0 < x < 1 \\ mx^2 + k^2, & x \geq 1 \end{cases}$ એ તમામ $x > 0$ માટે વિકલનીય છે. તો $\frac{8f'(8)}{f'(\frac{1}{8})}$ ની કિંમત $.............$ છે.

જો $f(x)=\sin \left(\cos ^{-1}\left(\frac{1-2^{2 x}}{1+2^{2 x}}\right)\right)$ હોય અને $x =1$ આગળ તેનું $x$ ની સાપેક્ષ પ્રથમ વિકલિત $-\frac{ b }{ a } \log _{ e } 2$ હોય,જ્યાં $a$ અને $b$ પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ છે,તો $\left| a ^{2}- b ^{2}\right|$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધો.........

વિધેય $f:(-\infty, \infty) \rightarrow(-\infty, \infty)$ ધ્યાનમાં લો,જે $f(x)=\frac{x^2-a x+1}{x^2+a x+1}, 0 < a < 2$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
$1.$ નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?
$(A)$ $(2+a)^2 f^{\prime \prime}(1)+(2-a)^2 f^{\prime \prime}(-1)=0$
$(B)$ $(2-a)^2 f^{\prime}(1)-(2+a)^2 f^{\prime \prime}(-1)=0$
$(C)$ $f^{\prime}(1) f^{\prime}(-1)=(2-a)^2$
$(D)$ $f^{\prime}(1) f^{\prime}(-1)=-(2+a)^2$
$2.$ નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?
$(A)$ $f(x)$ એ $(-1,1)$ પર ઘટતું વિધેય છે અને $x=1$ આગળ સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય ધરાવે છે
$(B)$ $f(x)$ એ $(-1,1)$ પર વધતું વિધેય છે અને $x=1$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય ધરાવે છે
$(C)$ $f(x)$ એ $(-1,1)$ પર વધતું વિધેય છે પરંતુ $x=1$ આગળ ન તો સ્થાનિક મહત્તમ કે ન તો સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય ધરાવે છે
$(D)$ $f(x)$ એ $(-1,1)$ પર ઘટતું વિધેય છે પરંતુ $x=1$ આગળ ન તો સ્થાનિક મહત્તમ કે ન તો સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય ધરાવે છે
$3.$ ધારો કે $g(x)=\int_0^{e^x} \frac{f^{\prime}(t)}{1+t^2} d t$. નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?
$(A)$ $g^{\prime}(x)$ એ $(-\infty, 0)$ પર ધન અને $(0, \infty)$ પર ઋણ છે
$(B)$ $g^{\prime}(x)$ એ $(-\infty, 0)$ પર ઋણ અને $(0, \infty)$ પર ધન છે
$(C)$ $g^{\prime}(x)$ એ $(-\infty, 0)$ અને $(0, \infty)$ બંને પર ચિહ્ન બદલે છે
$(D)$ $g^{\prime}(x)$ એ $(-\infty, \infty)$ પર ચિહ્ન બદલતું નથી
પ્રશ્ન $1, 2$ અને $3$ ના જવાબ આપો.

ધારો કે $f, g: R \rightarrow R$ એ બે વાસ્તવિક મૂલ્ય ધરાવતા વિધેયો છે જે $f(x)=\begin{cases} -|x+3| & , x < 0 \\ e^{x} & , x \geq 0 \end{cases}$ અને $g(x)=\begin{cases} x^{2}+k_{1} x & , x < 0 \\ 4 x+k_{2} & , x \geq 0 \end{cases}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે,જ્યાં $k_{1}$ અને $k_{2}$ વાસ્તવિક અચળાંકો છે. જો $(g \circ f)$ એ $x=0$ આગળ વિકલનીય હોય,તો $(g \circ f)(-4)+(g \circ f)(4)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f:[0,3] \rightarrow R$ એ $f(x)=\min \{x-[x], 1+[x]-x\}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે,જ્યાં $[x]$ એ $x$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક છે. ધારો કે $P$ એ $x \in[0,3]$ ના તમામ બિંદુઓનો ગણ છે જ્યાં $f$ અસતત છે,અને $Q$ એ $x \in(0,3)$ ના તમામ બિંદુઓનો ગણ છે જ્યાં $f$ વિકલનીય નથી. તો $P$ અને $Q$ માં રહેલા ઘટકોની સંખ્યાનો સરવાળો $......$ છે.