यदि y = f(x)^{g(x)} और frac{dy}{dx} = y[H(x)f | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $y = f(x)^{g(x)}$। दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर, $\log y = g(x) \log f(x)$ प्राप्त होता है।$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का

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$\frac{[\log f(x)]^2}{2} + c$

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(B) दिया गया है $y = f(x)^{g(x)}$। दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर, $\log y = g(x) \log f(x)$ प्राप्त होता है।$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर, $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = g'(x) \log f(x) + g(x) \frac{f'(x)}{f(x)}$ प्राप्त होता है।अतः, $\frac{dy}{dx} = y \left[ \frac{g(x)}{f(x)} f'(x) + \log f(x) g'(x) \right]$।इसे दिए गए समीकरण $\frac{dy}{dx} = y[H(x)f'(x) + G(x)g'(x)]$ के साथ तुलना करने पर, $H(x) = \frac{g(x)}{f(x)}$ और $G(x) = \log f(x)$ प्राप्त होता है।अब, हमें समाकलन $I = \int \frac{G(x)H(x)f'(x)}{g(x)} dx$ का मान ज्ञात करना है।फलन का मान रखने पर, $I = \int \frac{\log f(x) \cdot \frac{g(x)}{f(x)} \cdot f'(x)}{g(x)} dx = \int \frac{\log f(x) f'(x)}{f(x)} dx$।माना $u = \log f(x)$, तो $du = \frac{f'(x)}{f(x)} dx$।इन मानों को समाकलन में रखने पर, $I = \int u du = \frac{u^2}{2} + c = \frac{[\log f(x)]^2}{2} + c$।

यदि $y = f(x)^{g(x)}$ और $\frac{dy}{dx} = y[H(x)f'(x) + G(x)g'(x)]$ है, तो $\int \frac{G(x)H(x)f'(x)}{g(x)} dx =$

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