यदि y=(1+x)(1+x^2)(1+x^4) dots (1+x^{2^n}) है | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $y = (1+x)(1+x^2)(1+x^4) \dots (1+x^{2^n})$.$(1-x)$ से गुणा और भाग करने पर:$y = \frac{(1-x)(1+x)(1+x^2)(1+x^4) \dots (1+x^{2^n})}{1-x}

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$1$

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(C) दिया गया है $y = (1+x)(1+x^2)(1+x^4) \dots (1+x^{2^n})$.$(1-x)$ से गुणा और भाग करने पर:$y = \frac{(1-x)(1+x)(1+x^2)(1+x^4) \dots (1+x^{2^n})}{1-x}$सर्वसमिका $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$ का बार-बार उपयोग करने पर:$y = \frac{(1-x^2)(1+x^2)(1+x^4) \dots (1+x^{2^n})}{1-x} = \frac{(1-x^4)(1+x^4) \dots (1+x^{2^n})}{1-x}$इस प्रक्रिया को जारी रखने पर, हमें प्राप्त होता है:$y = \frac{1-x^{2^{n+1}}}{1-x}$अब, भागफल नियम $\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu' - uv'}{v^2}$ का उपयोग करके अवकलन करने पर:$\frac{dy}{dx} = \frac{(1-x)(-2^{n+1}x^{2^{n+1}-1}) - (1-x^{2^{n+1}})(-1)}{(1-x)^2}$$x=0$ रखने पर:$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=0} = \frac{(1-0)(0) - (1-0)(-1)}{(1-0)^2} = \frac{0 + 1}{1} = 1$.

यदि $y=(1+x)(1+x^2)(1+x^4) \dots (1+x^{2^n})$ है, तो $\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=0}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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