જો $y = \frac{\tan x \cos^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}}$ હોય, તો $x = 0$ હોય ત્યારે $\frac{dy}{dx}$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f: R \rightarrow R$ એ એક વિધેય છે જે $f(x) = \begin{cases} 3(1 - \frac{|x|}{2}) & \text{જો } |x| \leq 2 \\ 0 & \text{જો } |x| > 2 \end{cases}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. ધારો કે $g: R \rightarrow R$ એ $g(x) = f(x+2) - f(x-2)$ દ્વારા આપેલ છે. જો $n$ અને $m$ એ $R$ માં એવા બિંદુઓની સંખ્યા દર્શાવે છે જ્યાં $g$ અનુક્રમે અસતત અને વિકલનીય નથી,તો $n+m$ ની કિંમત $....$ છે.

નીચેના વિધાનો માટે $T$ અથવા $F$ ના પ્રારંભિક અક્ષરોનો સાચો ક્રમ આપો. જો વિધાન સાચું હોય તો $T$ અને જો ખોટું હોય તો $F$ નો ઉપયોગ કરો.
વિધાન-$1$: જો $f: R \rightarrow R$ અને $c \in R$ એવા હોય કે $f$ એ $(c - \delta, c)$ માં વધતું વિધેય હોય અને $(c, c + \delta)$ માં ઘટતું વિધેય હોય,તો $f$ ને $c$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય છે. જ્યાં $\delta$ એ પૂરતી નાની ધન સંખ્યા છે.
વિધાન-$2$: ધારો કે $f: (a, b) \rightarrow R, c \in (a, b)$. તો $f$ પાસે $x = c$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય અને નતિપરિવર્તન બિંદુ બંને ન હોઈ શકે.
વિધાન-$3$: વિધેય $f(x) = x^2 |x|$ એ $x = 0$ આગળ બે વાર વિકલનીય છે.
વિધાન-$4$: ધારો કે $f: [c - 1, c + 1] \rightarrow [a, b]$ એ એક-એક અને વ્યાપ્ત વિધેય છે કે જેથી $f$ એ $c$ આગળ વિકલનીય છે અને $f'(c) \neq 0$,તો $f^{-1}$ પણ $f(c)$ આગળ વિકલનીય છે.

નીચેનામાંથી કયું સત્ય નથી?

ધારો કે $f$ એ $\mathbb{R}$ પર વિકલનીય વિધેય છે જેથી $f(2) = 1$ અને $f'(2) = 4$ થાય. જો $\lim_{x \rightarrow 0} (f(2+x))^{3/x} = e^\alpha$ હોય,તો વક્ર $y = 4x^3 - 4x^2 - 4(\alpha - 7)x - \alpha$ એ $x$-અક્ષને કેટલી વાર છેદે છે?

$\frac{1}{e^{3x}}(e^x + e^{5x}) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \ldots$
$\Rightarrow 2a_1 + 2^3a_3 + 2^5a_5 + \ldots$ ની કિંમત શોધો.