यदि f अवकलनीय है, f(x+y)=f(x) f(y) सभी x, y i | vedclass

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Question

(D) दिया गया फलन समीकरण $f(x+y)=f(x) f(y)$ है।अवकलज की परिभाषा के अनुसार, $f^{\prime}(x) = \lim_{h 	o 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$।दिए गए संबंध का उपयोग

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$33$

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(D) दिया गया फलन समीकरण $f(x+y)=f(x) f(y)$ है।अवकलज की परिभाषा के अनुसार, $f^{\prime}(x) = \lim_{h 	o 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$।दिए गए संबंध का उपयोग करते हुए, $f(x+h) = f(x)f(h)$।अतः, $f^{\prime}(x) = \lim_{h 	o 0} \frac{f(x)f(h)-f(x)}{h} = f(x) \lim_{h 	o 0} \frac{f(h)-1}{h}$।चूंकि $f(0+0) = f(0)f(0)$, इसलिए $f(0) = f(0)^2$, जिससे $f(0)=1$ (मानते हुए कि $f(x) 
eq 0$)।इस प्रकार, $f^{\prime}(0) = \lim_{h 	o 0} \frac{f(h)-f(0)}{h} = \lim_{h 	o 0} \frac{f(h)-1}{h} = 11$।इसलिए, $f^{\prime}(x) = f(x) \cdot 11$।$x=3$ पर, $f^{\prime}(3) = f(3) \cdot 11 = 3 \cdot 11 = 33$।

यदि $f$ अवकलनीय है, $f(x+y)=f(x) f(y)$ सभी $x, y \in R$ के लिए, $f(3)=3$, और $f^{\prime}(0)=11$ है, तो $f^{\prime}(3)$ का मान ज्ञात कीजिए:

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