यदि f(x) = x + log left( frac{x-1}{x+1} right | vedclass

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Question

(B) फलन $f(x) = x + \log \left( \frac{x-1}{x+1} \right)$ की प्रकृति निर्धारित करने के लिए, हम इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।सबसे पहले, फलन के सुपर

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एकदिष्ट वर्धमान फलन

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(B) फलन $f(x) = x + \log \left( \frac{x-1}{x+1} \right)$ की प्रकृति निर्धारित करने के लिए, हम इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।सबसे पहले, फलन के सुपरिभाषित होने के लिए, हमें $\frac{x-1}{x+1} > 0$ की आवश्यकता है, जिसका अर्थ है $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$।अब, $x$ के सापेक्ष $f(x)$ का अवकलन करने पर:$f'(x) = 1 + \frac{d}{dx} [\log(x-1) - \log(x+1)]$$f'(x) = 1 + \left( \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} \right)$$f'(x) = 1 + \frac{(x+1) - (x-1)}{(x-1)(x+1)}$$f'(x) = 1 + \frac{2}{x^2 - 1}$$f'(x) = \frac{x^2 - 1 + 2}{x^2 - 1} = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}$चूंकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $x^2 + 1 > 0$ है, इसलिए $f'(x)$ का चिह्न हर $x^2 - 1$ पर निर्भर करता है।$x \in (1, \infty)$ के लिए, $x^2 > 1$, इसलिए $x^2 - 1 > 0$, जिसका अर्थ है $f'(x) > 0$। अतः, $f$ अंतराल $(1, \infty)$ में वर्धमान है।$x \in (-\infty, -1)$ के लिए, $x^2 > 1$, इसलिए $x^2 - 1 > 0$, जिसका अर्थ है $f'(x) > 0$। अतः, $f$ अंतराल $(-\infty, -1)$ में वर्धमान है।इसलिए, $f$ अपने प्रांत में एकदिष्ट वर्धमान फलन है।

यदि $f(x) = x + \log \left( \frac{x-1}{x+1} \right)$ एक सुपरिभाषित वास्तविक मान वाला फलन है, तो $f$ है

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