यदि $\int \sec ^2 x \operatorname{cosec}^4 x \, dx = -\frac{1}{3} \cot ^3 x + k \tan x - 2 \cot x + C$ है, तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

$AlCl_3$ है:

$\lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{x \cdot 10^x - x}{1 - \cos x} \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$2, 3$-डाइमिथाइलहेक्सेन में क्रमशः तृतीयक,द्वितीयक और प्राथमिक कार्बन परमाणुओं की संख्या कितनी है?

एक आदर्श गैस एक अर्ध-स्थैतिक (quasi-static), उत्क्रमणीय प्रक्रिया से गुजरती है जिसमें उसकी मोलर ऊष्मा धारिता $C$ स्थिर रहती है। यदि इस प्रक्रिया के दौरान दाब $P$ और आयतन $V$ का संबंध $PV^n = \text{constant}$ द्वारा दिया जाता है, तो $n$ का मान क्या होगा? (यहाँ $C_P$ और $C_V$ क्रमशः स्थिर दाब और स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा हैं।)

$500 ~Hz$ की आवृत्ति पर कंपन करने वाले ध्वनि के एक छोटे स्रोत को $\frac{100}{\pi} ~cm$ त्रिज्या के वृत्त पर $5 ~revolutions ~per ~second$ की निरंतर कोणीय गति से घुमाया जाता है। वृत्त के तल में स्थित एक श्रोता द्वारा देखी गई ध्वनि की न्यूनतम और अधिकतम आवृत्ति क्या है? (ध्वनि की गति $332 ~ms^{-1}$ है)