यदि int x^3(log x)^2 d x = x^4[A(log x)^2 + B | vedclass

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Question

(D) हम खंडशः समाकलन (integration by parts) विधि का उपयोग करते हैं: $\int u v dx = u \int v dx - \int (u' \int v dx) dx$. मान लीजिए $u = (\log x)^2$ और

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$\frac{5}{32}$

Vedclass · Answer

(D) हम खंडशः समाकलन (integration by parts) विधि का उपयोग करते हैं: $\int u v dx = u \int v dx - \int (u' \int v dx) dx$. मान लीजिए $u = (\log x)^2$ और $v = x^3$. तब $u' = 2 \log x \cdot \frac{1}{x}$ और $\int v dx = \frac{x^4}{4}$. $\int x^3(\log x)^2 dx = \frac{x^4}{4}(\log x)^2 - \int (2 \log x \cdot \frac{1}{x} \cdot \frac{x^4}{4}) dx = \frac{x^4}{4}(\log x)^2 - \frac{1}{2} \int x^3 \log x dx$. अब, $\int x^3 \log x dx$ का पुनः खंडशः समाकलन करने पर: $\int x^3 \log x dx = \log x \cdot \frac{x^4}{4} - \int \frac{1}{x} \cdot \frac{x^4}{4} dx = \frac{x^4}{4} \log x - \frac{1}{4} \int x^3 dx = \frac{x^4}{4} \log x - \frac{x^4}{16}$. इसे वापस प्रतिस्थापित करने पर: $\int x^3(\log x)^2 dx = \frac{x^4}{4}(\log x)^2 - \frac{1}{2} [\frac{x^4}{4} \log x - \frac{x^4}{16}] + K = x^4 [\frac{1}{4}(\log x)^2 - \frac{1}{8} \log x + \frac{1}{32}] + K$. $x^4[A(\log x)^2 + B(\log x) + C]$ से तुलना करने पर, हमें $A = \frac{1}{4}$, $B = -\frac{1}{8}$, और $C = \frac{1}{32}$ प्राप्त होता है। अतः, $A + B + C = \frac{1}{4} - \frac{1}{8} + \frac{1}{32} = \frac{8 - 4 + 1}{32} = \frac{5}{32}$.

यदि $\int x^3(\log x)^2 d x = x^4[A(\log x)^2 + B(\log x) + C] + K$ है, तो $A + B + C$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$\int \sin(\log x) \, dx = $

यदि $\int \sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right) d x=f(x)-\log \left(1+x^2\right)$ है, तो $f(x)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int (\cos x) \log \cot (\frac{x}{2}) dx =$

$\int (\log x)^2 dx =$

$\int \cos^{-1}(2x^2-1) \, dx =$

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