यदि int e^{2x} f^{prime}(x) dx = g(x) है, तो | vedclass

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Question

(B) हमें दिया गया है कि $\int e^{2x} f^{\prime}(x) dx = g(x)$.माना $I = \int (e^{2x} f(x) + e^{2x} f^{\prime}(x)) dx$.इसे दो समाकलों में विभाजित किया

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$\frac{1}{2} [e^{2x} f(x) + g(x)] + C$

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(B) हमें दिया गया है कि $\int e^{2x} f^{\prime}(x) dx = g(x)$.माना $I = \int (e^{2x} f(x) + e^{2x} f^{\prime}(x)) dx$.इसे दो समाकलों में विभाजित किया जा सकता है: $I = \int e^{2x} f(x) dx + \int e^{2x} f^{\prime}(x) dx$.प्रथम समाकल $\int e^{2x} f(x) dx$ के लिए खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करने पर ($f(x)$ को प्रथम फलन और $e^{2x}$ को द्वितीय फलन लेने पर):$\int e^{2x} f(x) dx = f(x) \int e^{2x} dx - \int (f^{\prime}(x) \int e^{2x} dx) dx = \frac{1}{2} f(x) e^{2x} - \frac{1}{2} \int e^{2x} f^{\prime}(x) dx$.इस मान को $I$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:$I = [\frac{1}{2} f(x) e^{2x} - \frac{1}{2} \int e^{2x} f^{\prime}(x) dx] + \int e^{2x} f^{\prime}(x) dx$.$I = \frac{1}{2} e^{2x} f(x) + \frac{1}{2} \int e^{2x} f^{\prime}(x) dx$.चूंकि $\int e^{2x} f^{\prime}(x) dx = g(x)$, इसलिए:$I = \frac{1}{2} e^{2x} f(x) + \frac{1}{2} g(x) + C = \frac{1}{2} [e^{2x} f(x) + g(x)] + C$.

यदि $\int e^{2x} f^{\prime}(x) dx = g(x)$ है, तो $\int (e^{2x} f(x) + e^{2x} f^{\prime}(x)) dx =$

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$\int \log x \cdot(\log x+2) dx =$

यदि $f(x)$ का प्रतिअवकलज (antiderivative) $e^x$ है और $g(x)$ का प्रतिअवकलज $\cos x$ है,तो $\int f(x) \cos x \, dx + \int g(x) e^x \, dx = $

अभिकथन $(A)$: $\int_2^e \left(\frac{1}{\log_e x} - \frac{1}{(\log_e x)^2}\right) dx = e - 2 \log_2 e$
तर्क $(R)$: $\int_a^b e^x (f(x) + f'(x)) dx = e^b f(b) - e^a f(a)$

यदि $\int_2^{e}\left[\frac{1}{\log x}-\frac{1}{(\log x)^2}\right] dx = a+\frac{b}{\log 2}$ है,तो:

$\int e^{x}(x^{5}+5x^{4}+1)dx$ का मान है

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