यदि k और l क्रमशः उस अवकल समीकरण की कोटि और घ | vedclass

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Question

(C) अचर त्रिज्या $r$ और केंद्र $(a, b)$ वाले वृत्तों के परिवार का सामान्य समीकरण $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ है। चूंकि इसमें दो स्वेच्छ अचर $a$ और $b$ ह

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$8$

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(C) अचर त्रिज्या $r$ और केंद्र $(a, b)$ वाले वृत्तों के परिवार का सामान्य समीकरण $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ है। चूंकि इसमें दो स्वेच्छ अचर $a$ और $b$ हैं, इसलिए अवकल समीकरण की कोटि $k = 2$ है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2(x-a) + 2(y-b)y' = 0 \Rightarrow (x-a) + (y-b)y' = 0$. पुनः अवकलन करने पर: $1 + (y')^2 + (y-b)y'' = 0 \Rightarrow (y-b) = -\frac{1+(y')^2}{y''}$. इस मान को प्रथम अवकलज समीकरण में रखने पर: $(x-a) = -y' \left(-\frac{1+(y')^2}{y''}\right) = \frac{y'(1+(y')^2)}{y''}$. $(x-a)$ और $(y-b)$ के मानों को मूल समीकरण में रखने पर: $\left(\frac{y'(1+(y')^2)}{y''}\right)^2 + \left(-\frac{1+(y')^2}{y''}\right)^2 = r^2$. सरल करने पर: $\frac{(1+(y')^2)^2}{(y'')^2} ( (y')^2 + 1 ) = r^2 \Rightarrow (1+(y')^2)^3 = r^2(y'')^2$. उच्चतम कोटि का अवकलज $y''$ है, अतः कोटि $k = 2$ है। उच्चतम कोटि के अवकलज की घात $2$ है, अतः घात $l = 2$ है। अतः, $k^2 + l^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8$.

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