यदि y=y(x) अवकल समीकरण left(frac{2+sin x}{y+1 | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\left(\frac{2+\sin x}{y+1}\right) \frac{d y}{d x}+\cos x=0$ है।चरों को पृथक करने पर:$\frac{d y}{1+y} + \frac{\cos x}{2+\sin

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$\frac{1}{3}$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण $\left(\frac{2+\sin x}{y+1}\right) \frac{d y}{d x}+\cos x=0$ है।चरों को पृथक करने पर:$\frac{d y}{1+y} + \frac{\cos x}{2+\sin x} dx = 0$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:$\int \frac{d y}{1+y} + \int \frac{\cos x}{2+\sin x} dx = C_0$.माना $t = 2+\sin x$, तब $dt = \cos x dx$. अतः:$\ln|1+y| + \ln|2+\sin x| = C_1$.इससे $(1+y)(2+\sin x) = C$ प्राप्त होता है।शर्त $y(0)=1$ का उपयोग करने पर:$(1+1)(2+\sin 0) = C \Rightarrow 2(2) = C \Rightarrow C=4$.अतः हल $(1+y)(2+\sin x) = 4$ है।अब $x=\frac{\pi}{2}$ रखने पर:$(1+y(\frac{\pi}{2}))(2+\sin(\frac{\pi}{2})) = 4$.$(1+y(\frac{\pi}{2}))(2+1) = 4$.$3(1+y(\frac{\pi}{2})) = 4$.$1+y(\frac{\pi}{2}) = \frac{4}{3}$.$y(\frac{\pi}{2}) = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$.

यदि $y=y(x)$ अवकल समीकरण $\left(\frac{2+\sin x}{y+1}\right) \frac{d y}{d x}+\cos x=0$ का हल है, जहाँ $y(0)=1$, तो $y\left(\frac{\pi}{2}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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