यदि a, b, c तीन परस्पर लंबवत सदिश इस प्रकार ह | vedclass

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Question

(B) दिया गया है कि $a, b, c$ परस्पर लंबवत सदिश हैं, इसलिए $a \cdot b = b \cdot c = c \cdot a = 0$. मान लीजिए $|a| = k$. तब $|b| = \frac{1}{2}k$ और $|c

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$\cos^{-1}\left(\frac{1}{2\sqrt{2}}\right)$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया है कि $a, b, c$ परस्पर लंबवत सदिश हैं, इसलिए $a \cdot b = b \cdot c = c \cdot a = 0$. मान लीजिए $|a| = k$. तब $|b| = \frac{1}{2}k$ और $|c| = \frac{\sqrt{3}}{2}k$. सबसे पहले, सदिश $a+b+c$ का परिमाण ज्ञात करें: $|a+b+c|^2 = |a|^2 + |b|^2 + |c|^2 = k^2 + \left(\frac{1}{2}kight)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}kight)^2 = k^2 + \frac{1}{4}k^2 + \frac{3}{4}k^2 = 2k^2$. अतः, $|a+b+c| = \sqrt{2}k$. अब, मान लीजिए $(a+b+c)$ और $b$ के बीच का कोण $	heta$ है। डॉट प्रोडक्ट सूत्र का उपयोग करते हुए, $\cos 	heta = \frac{(a+b+c) \cdot b}{|a+b+c| |b|}$. चूंकि $a \cdot b = 0$ और $c \cdot b = 0$, इसलिए $(a+b+c) \cdot b = a \cdot b + b \cdot b + c \cdot b = 0 + |b|^2 + 0 = |b|^2$. मान रखने पर: $\cos 	heta = \frac{|b|^2}{|a+b+c| |b|} = \frac{|b|}{|a+b+c|} = \frac{\frac{1}{2}k}{\sqrt{2}k} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$. इसलिए, $	heta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{2\sqrt{2}}ight)$.

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यदि $a = t^2 \hat{i} + e^t \hat{j} + \hat{k}$ और $b = 2 \hat{i} + t^2 \hat{j} + \log t \hat{k}$,तथा $f(t) = a \cdot b$ है,तो $f^{\prime}(1)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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