यदि $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ तीन असमतलीय सदिश हैं, तो सदिश समीकरण $\overrightarrow{r}=(1-p-q) \overrightarrow{a}+p \overrightarrow{b}+q \overrightarrow{c}$ क्या दर्शाता है?

एक चर समतल जिसकी मूल बिंदु से दूरी $p$ स्थिर है,निर्देशांक अक्षों को $A, B, C$ बिंदुओं पर काटता है। इन बिंदुओं से निर्देशांक तलों के समांतर समतल खींचे जाते हैं। उनके प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ ज्ञात कीजिए।

एक समतल $\pi$ जो $ax + by + 11z + d = 0$ द्वारा दिया गया है,समतलों $2x - 3y + z = 4$ और $3x + y - z = 5$ के लंबवत है। मूल बिंदु से समतल $\pi$ की लंबवत दूरी $\sqrt{6}$ इकाई है। यदि समतल $\pi$ द्वारा निर्देशांक अक्षों पर बनाए गए सभी अंतःखंड धनात्मक हैं,तो $d =$

यदि $a, b, c$ बिंदु $(1, 2, 3)$ से गुजरने वाले और समतल $3x + 4y - 5z = 0$ के समानांतर समतल द्वारा $X, Y, Z$-अक्षों पर बनाए गए अंतःखंड (intercepts) हैं,तो $3a + b + 5c =$

समतलों के एक युग्म के लिए संयुक्त समीकरण $S \equiv 2 x^2-6 y^2-12 z^2+18 y z+2 z x+x y=0$ है। यदि एक समतल $x+2 y-2 z=5$ के समानांतर है, तो समतलों $S=0$ के बीच का न्यून कोण क्या है?

यदि $\mathbb{R}$ में कुछ $\alpha$ और $\beta$ के लिए,निम्नलिखित तीन समतलों $x+4y-2z=1$,$x+7y-5z=\beta$,और $x+5y+\alpha z=5$ का प्रतिच्छेदन $\mathbb{R}^{3}$ में एक रेखा है,तो $\alpha+\beta$ का मान ज्ञात कीजिए।