यदि X एक यादृच्छिक चर है जिसका प्रायिकता वितर | vedclass

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Question

(B) प्रायिकता वितरण के लिए, सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए: $\sum_{k=0}^{\infty} P(X=k) = 1$. दिए गए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर: $c \sum_{k

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$\frac{1}{18}$

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(B) प्रायिकता वितरण के लिए, सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए: $\sum_{k=0}^{\infty} P(X=k) = 1$. दिए गए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर: $c \sum_{k=0}^{\infty} \frac{2k+3}{3^k} = 1$. मान लीजिए $S = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{2k+3}{3^k} = 3 \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{3^k} + 2 \sum_{k=0}^{\infty} \frac{k}{3^k}$. पहला भाग एक गुणोत्तर श्रेणी है: $3 	imes \frac{1}{1 - 1/3} = 3 	imes \frac{3}{2} = \frac{9}{2}$. दूसरा भाग एक अंकगणितीय-गुणोत्तर श्रेणी है: $\sum_{k=0}^{\infty} k x^k = \frac{x}{(1-x)^2}$. $x = 1/3$ के लिए, यह $\frac{1/3}{(1-1/3)^2} = \frac{1/3}{4/9} = \frac{3}{4}$ है। अतः, $S = \frac{9}{2} + 2 	imes \frac{3}{4} = \frac{9}{2} + \frac{3}{2} = 6$. चूंकि $c 	imes S = 1$, इसलिए $c = 1/6$. अब, $P(X=3) = \frac{(2(3)+3)c}{3^3} = \frac{9c}{27} = \frac{c}{3}$. $c = 1/6$ रखने पर, हमें $P(X=3) = \frac{1/6}{3} = \frac{1}{18}$ प्राप्त होता है।

यदि $X$ एक यादृच्छिक चर है जिसका प्रायिकता वितरण $P(X=k) = \frac{(2k+3)c}{3^k}$, $k=0, 1, 2, \ldots, \infty$ है, तो $P(X=3) =$

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