यदि f(x)=x^{n}, जहाँ n एक अऋणात्मक पूर्णांक ह | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $f(x) = x^{n}$.अवकलन करने पर, हमें $f^{\prime}(x) = n x^{n-1}$ प्राप्त होता है।इसे दिए गए समीकरण $f^{\prime}(\alpha+\beta) = f^{\prime

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$2$

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(B) दिया गया है $f(x) = x^{n}$.अवकलन करने पर, हमें $f^{\prime}(x) = n x^{n-1}$ प्राप्त होता है।इसे दिए गए समीकरण $f^{\prime}(\alpha+\beta) = f^{\prime}(\alpha) + f^{\prime}(\beta)$ में रखने पर:$n(\alpha+\beta)^{n-1} = n\alpha^{n-1} + n\beta^{n-1}$.यदि $n 
eq 0$ है, तो $n$ से विभाजित करने पर:$(\alpha+\beta)^{n-1} = \alpha^{n-1} + \beta^{n-1}$.यदि $n=1$ है, तो $(\alpha+\beta)^{0} = \alpha^{0} + \beta^{0} \Rightarrow 1 = 1 + 1$, जो $1 = 2$ है (असत्य)।यदि $n=2$ है, तो $(\alpha+\beta)^{2-1} = \alpha^{2-1} + \beta^{2-1} \Rightarrow \alpha+\beta = \alpha+\beta$ (सत्य)।यदि $n=0$ है, तो $f(x) = x^{0} = 1$, इसलिए $f^{\prime}(x) = 0$। अतः $0 = 0 + 0$ (सत्य)।हालाँकि, दिए गए विकल्पों के अनुसार, $n=2$ इस प्रकार के प्रश्न के लिए मानक समाधान है।

$I$. $f'(x) = \frac{3}{4}x^{4/3} + 9$	$II$. $f(x) = \frac{9}{28}x^{7/3} - 2$
$III$. $f(x) = \frac{9}{28}x^{7/3} + 6$	$IV$. $f'(x) = \frac{3}{4}x^{4/3} - 4$

यदि $f(x)=x^{n}$, जहाँ $n$ एक अऋणात्मक पूर्णांक है, तो $n$ के वे मान जिनके लिए सभी $\alpha, \beta > 0$ के लिए $f^{\prime}(\alpha+\beta)=f^{\prime}(\alpha)+f^{\prime}(\beta)$ है, हैं:

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$\frac{d}{dx} \sqrt{\frac{1 - \sin 2x}{1 + \sin 2x}} = $

$\frac{d}{dx} \left( \frac{2 \tan x}{1 + \tan^2 x} \right) = $ . . . . . .

मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ एक फलन है जैसे कि $f(x)=x^3+x^2 f^{\prime}(1)+x f^{\prime \prime}(2)+6, x \in R$,तो $f(2)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$x = \frac{1-\sqrt{y}}{1+\sqrt{y}} \Rightarrow \frac{dy}{dx}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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