જો M = int_{0}^{pi / 2} frac{cos x}{x+2} dx અ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપેલ છે, $M = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{x+2} dx$ અને $N = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x \cos x}{(x+1)^{2}} dx$. નિત્યસમ $\sin

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{2}{\pi+4}$

Vedclass · Answer

(D) આપેલ છે, $M = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{x+2} dx$ અને $N = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x \cos x}{(x+1)^{2}} dx$. નિત્યસમ $\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$ નો ઉપયોગ કરતા, $N = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin 2x}{2(x+1)^{2}} dx$. ધારો કે $2x = t$, તેથી $dx = \frac{dt}{2}$. જ્યારે $x=0, t=0$ અને જ્યારે $x=\frac{\pi}{4}, t=\frac{\pi}{2}$. આ કિંમતો $N$ માં મૂકતા, $N = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin t}{2(\frac{t}{2}+1)^{2}} \cdot \frac{dt}{2} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin t}{(t+2)^{2}} dt$. હવે, $M - N = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{x+2} dx - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{(x+2)^{2}} dx$. પ્રથમ સંકલન માટે ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા, $u = \frac{1}{x+2}$ અને $dv = \cos x dx$ લો. તેથી $du = -\frac{1}{(x+2)^{2}} dx$ અને $v = \sin x$. $M = \left[ \frac{\sin x}{x+2} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \left( -\frac{1}{(x+2)^{2}} \right) dx = \left[ \frac{\sin x}{x+2} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{(x+2)^{2}} dx$. આમ, $M - N = \left[ \frac{\sin x}{x+2} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\sin(\pi/2)}{\pi/2 + 2} - \frac{\sin(0)}{0+2} = \frac{1}{\frac{\pi+4}{2}} = \frac{2}{\pi+4}$.

જો $M = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\cos x}{x+2} dx$ અને $N = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x \cos x}{(x+1)^{2}} dx$ હોય, તો $M-N$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

$\int_0^{\pi / 2} \frac{2 \sin (x)+3 \cos (x)}{\sin (x)+\cos (x)} d x=$

$\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{\cos x}{1+e^{x}} d x$ ની કિંમત શોધો.

$\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2 \pi}{3}} \frac{x}{1+\sin x} \,d x=$

$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\sin^2 x}{1 + 2^x} dx = \dots$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module