यदि f(x) एक अवकलनीय फलन है जैसे कि f: R to R | vedclass

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Question

(B) दिया गया है कि $f\left( \frac{1}{n} \right) = 0$ सभी $n \in \{1, 2, 3, \dots\}$ के लिए।चूंकि $f(x)$ सतत है (क्योंकि यह अवकलनीय है),इसलिए $f(0) = \

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$f(0) = 0$ और $f'(0) = 0$

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(B) दिया गया है कि $f\left( \frac{1}{n} ight) = 0$ सभी $n \in \{1, 2, 3, \dots\}$ के लिए।चूंकि $f(x)$ सतत है (क्योंकि यह अवकलनीय है),इसलिए $f(0) = \lim_{n 	o \infty} f\left( \frac{1}{n} ight) = 0$ है।अब,अनुक्रम $x_n = \frac{1}{n}$ पर विचार करें। हमारे पास $f(x_n) = 0$ और $f(0) = 0$ है।$x = 0$ पर अवकलज की परिभाषा के अनुसार:$f'(0) = \lim_{x 	o 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{n 	o \infty} \frac{f(1/n) - f(0)}{1/n - 0} = \lim_{n 	o \infty} \frac{0 - 0}{1/n} = 0$ है।अतः,$f(0) = 0$ और $f'(0) = 0$ प्राप्त होता है।

यदि $f(x)$ एक अवकलनीय फलन है जैसे कि $f: R \to R$ और $f\left( \frac{1}{n} \right) = 0$ सभी $n \ge 1, n \in I$ के लिए,तो:

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यदि $f(x) = \begin{cases} ax^2 + b; & x \le 0 \\ x^2; & x > 0 \end{cases}$ का $x = 0$ पर अवकलज (derivative) विद्यमान है,तो:

निम्नलिखित ग्राफ द्वारा दर्शाया गया फलन है,

मान लीजिए $g(x) = x \cdot f(x)$,जहाँ $f(x) = \begin{cases} x \sin \frac{1}{x}, & x \ne 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$ है। $x = 0$ पर $g$ की अवकलनीयता की चर्चा कीजिए।

$x=1$ पर,फलन $f(x)=\begin{cases} x^{3}-1, & 1 < x < \infty \\ x-1, & -\infty < x \leq 1 \end{cases}$ है

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