यदि $f(x) = 2x + \cot^{-1}x + \log(\sqrt{1 + x^2} - x)$ है,तो $f(x)$

मान लीजिए कि $f$ अंतराल $[a, b]$ पर परिभाषित एक फलन है,इस प्रकार कि सभी $x \in (a, b)$ के लिए $f^{\prime}(x) > 0$ है। सिद्ध कीजिए कि $f$ अंतराल $(a, b)$ पर एक वर्धमान फलन है।

यदि $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 3$ एक ह्रासमान (decreasing) फलन है,तो $x$ किस अंतराल में स्थित है?

दो कथनों $S_1$ और $S_2$ पर विचार करें।
$S_1$: यदि $f(x)$ एक अवकलनीय फलन है जिसमें $(a, b)$ में $f'(x) > 0$ है और $f(x)$,$(a, b)$ में वर्धमान है,तो $\frac{f(x)}{f'(x)}$ भी $(a, b)$ में वर्धमान है।
$S_2$: $\sin x$ और $\tan x$ दोनों $(0, \frac{\pi}{2})$ में वर्धमान फलन हैं।
निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

यदि $a$ का अधिकतम मान,जिसके लिए फलन $f_{a}(x)=\tan ^{-1} 2 x-3 a x+7$ अंतराल $\left(-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}\right)$ में वर्धमान है,$\bar{a}$ है,तो $f_{\bar{a}}\left(\frac{\pi}{8}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

सिद्ध कीजिए कि $f(x) = \cos x$ द्वारा प्रदत्त फलन $(\pi, 2\pi)$ में वर्धमान है।