यदि {I_n} = frac{d^n}{dx^n}(x^n log x) है,तो | vedclass

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Question

(D) दिया गया है ${I_n} = \frac{d^n}{dx^n}(x^n \log x)$.अवकलन के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं ${I_n} = \frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left( \fr

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$(n - 1)!$

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(D) दिया गया है ${I_n} = \frac{d^n}{dx^n}(x^n \log x)$.अवकलन के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं ${I_n} = \frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left( \frac{d}{dx}(x^n \log x) \right)$.गुणन नियम का उपयोग करने पर: $\frac{d}{dx}(x^n \log x) = n x^{n-1} \log x + x^n \cdot \frac{1}{x} = n x^{n-1} \log x + x^{n-1}$.अतः,${I_n} = \frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}(n x^{n-1} \log x + x^{n-1})$.${I_n} = n \frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}(x^{n-1} \log x) + \frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}(x^{n-1})$.परिभाषा के अनुसार,${I_{n-1}} = \frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}(x^{n-1} \log x)$.साथ ही,$x^{n-1}$ का $(n-1)$-वाँ अवकलज $(n-1)!$ होता है।इसलिए,${I_n} = n{I_{n-1}} + (n-1)!$.पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें ${I_n} - n{I_{n-1}} = (n-1)!$ प्राप्त होता है।

यदि ${I_n} = \frac{d^n}{dx^n}(x^n \log x)$ है,तो ${I_n} - n{I_{n - 1}} = $

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