यदि int (cos x - sin x) , dx = sqrt{2} sin (x | vedclass

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Question

(C) दिया गया है कि $\int (\cos x - \sin x) \, dx = \sqrt{2} \sin (x + \alpha) + c$ है। बाएँ पक्ष का समाकलन करने पर: $\int (\cos x - \sin x) \, dx = \s

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$\frac{\pi}{4}$

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(C) दिया गया है कि $\int (\cos x - \sin x) \, dx = \sqrt{2} \sin (x + \alpha) + c$ है। बाएँ पक्ष का समाकलन करने पर: $\int (\cos x - \sin x) \, dx = \sin x + \cos x + c$ प्राप्त होता है। अब,इसे दाएँ पक्ष के बराबर रखने पर: $\sin x + \cos x + c = \sqrt{2} \sin (x + \alpha) + c$। बाएँ पक्ष को $\sqrt{2}$ से गुणा और भाग करने पर: $\sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x \right) + c = \sqrt{2} \sin (x + \alpha) + c$। त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ होता है। अतः,$\sqrt{2} \left( \sin x \cos \frac{\pi}{4} + \cos x \sin \frac{\pi}{4} \right) + c = \sqrt{2} \sin (x + \alpha) + c$। इसे सरल करने पर $\sqrt{2} \sin (x + \frac{\pi}{4}) + c = \sqrt{2} \sin (x + \alpha) + c$ प्राप्त होता है। दोनों पक्षों की तुलना करने पर,हमें $\alpha = \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होता है।

यदि $\int (\cos x - \sin x) \, dx = \sqrt{2} \sin (x + \alpha) + c$ है,तो $\alpha = $

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