જો z neq 1 અને frac{z^2}{z-1} વાસ્તવિક હોય,તો | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ છે કે $\frac{z^2}{z-1}$ વાસ્તવિક છે,તેથી તે તેના અનુબદ્ધ (conjugate) જેટલું જ હોય: $\frac{z^2}{z-1} = \frac{\overline{z}^2}{\overline{z}-1}$.

Vedclass · Accepted Answer

કાં તો વાસ્તવિક અક્ષ પર અથવા ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળ પર

Vedclass · Answer

(A) આપેલ છે કે $\frac{z^2}{z-1}$ વાસ્તવિક છે,તેથી તે તેના અનુબદ્ધ (conjugate) જેટલું જ હોય: $\frac{z^2}{z-1} = \frac{\overline{z}^2}{\overline{z}-1}$.ગુણાકાર કરતા: $z^2(\overline{z}-1) = \overline{z}^2(z-1)$.પદોને વિસ્તૃત કરતા: $z^2\overline{z} - z^2 = \overline{z}^2z - \overline{z}^2$.પદોને ગોઠવતા: $z^2\overline{z} - \overline{z}^2z - z^2 + \overline{z}^2 = 0$.અવયવ પાડતા: $z\overline{z}(z-\overline{z}) - (z-\overline{z})(z+\overline{z}) = 0$.$(z-\overline{z})(z\overline{z} - (z+\overline{z})) = 0$.આનો અર્થ એ છે કે કાં તો $z-\overline{z} = 0$ અથવા $z\overline{z} - z - \overline{z} = 0$.$z-\overline{z} = 0$ સૂચવે છે કે $z$ વાસ્તવિક છે (વાસ્તવિક અક્ષ પર છે).$z\overline{z} - z - \overline{z} = 0$ ને $(z-1)(\overline{z}-1) = 1$ તરીકે લખી શકાય,એટલે કે $|z-1|^2 = 1$,જે $1$ કેન્દ્ર અને $1$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ છે. આ વર્તુળ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે કારણ કે $|0-1| = 1$.આમ,$z$ વાસ્તવિક અક્ષ પર અથવા ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળ પર આવેલું છે.

જો $z \neq 1$ અને $\frac{z^2}{z-1}$ વાસ્તવિક હોય,તો સંકર સંખ્યા $z$ દ્વારા દર્શાવતું બિંદુ ક્યાં આવેલું છે?

Similar Questions

જો $\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = 0$ અને $\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = 0$ હોય,તો $\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma$ ની કિંમત શોધો.

સંકર સમતલનો તે પ્રદેશ જેના માટે $\left| \frac{z - a}{z + \overline{a}} \right| = 1$ જ્યાં $\text{Re}(a) \neq 0$ હોય,તે છે

જો $z = x + iy$ એક સંકર સંખ્યા હોય,તો સમીકરણ $\left|\frac{z+i}{z-i}\right| = \sqrt{3}$ શું દર્શાવે છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module