यदि alpha neq 1 इकाई का कोई n^{th} मूल है,तो | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $S = 1 + 3\alpha + 5\alpha^2 + \dots + (2n - 1)\alpha^{n-1}$ $(i)$$\alpha$ से गुणा करने पर: $\alpha S = \alpha + 3\alpha^2 + 5\alpha^3

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$-\frac{2n}{1 - \alpha}$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया है $S = 1 + 3\alpha + 5\alpha^2 + \dots + (2n - 1)\alpha^{n-1}$ $(i)$$\alpha$ से गुणा करने पर: $\alpha S = \alpha + 3\alpha^2 + 5\alpha^3 + \dots + (2n - 1)\alpha^n$ $(ii)$$(i)$ में से $(ii)$ घटाने पर:$(1 - \alpha)S = 1 + 2\alpha + 2\alpha^2 + \dots + 2\alpha^{n-1} - (2n - 1)\alpha^n$चूँकि इकाई के $n^{th}$ मूल के लिए $\alpha^n = 1$:$(1 - \alpha)S = 1 + 2(\alpha + \alpha^2 + \dots + \alpha^{n-1}) - (2n - 1)$गुणोत्तर श्रेणी के योग का उपयोग करने पर $\alpha + \alpha^2 + \dots + \alpha^{n-1} = -1$:$(1 - \alpha)S = 1 + 2(-1) - 2n + 1 = -2n$अतः,$S = -\frac{2n}{1 - \alpha}$.

यदि $\alpha \neq 1$ इकाई का कोई $n^{th}$ मूल है,तो $S = 1 + 3\alpha + 5\alpha^2 + \dots$ $n$ पदों तक,किसके बराबर है?

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