यदि a_1, a_2, a_3, dots, a_n एक A.P. है जिसका | vedclass

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Question

(B) दिया गया है कि $a_1, a_2, \dots, a_n$ एक $A.P.$ है जिसका सार्व अंतर $d$ है,अतः सभी $k = 1, 2, \dots, n-1$ के लिए $a_{k+1} - a_k = d$ है।सर्वसमिका

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$\frac{(n - 1)d}{1 + a_1 a_n}$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया है कि $a_1, a_2, \dots, a_n$ एक $A.P.$ है जिसका सार्व अंतर $d$ है,अतः सभी $k = 1, 2, \dots, n-1$ के लिए $a_{k+1} - a_k = d$ है।सर्वसमिका $	an^{-1} x - 	an^{-1} y = 	an^{-1} \left( \frac{x - y}{1 + xy} ight)$ का उपयोग करते हुए,प्रत्येक पद को इस प्रकार लिखा जा सकता है:$	an^{-1} \left( \frac{d}{1 + a_k a_{k+1}} ight) = 	an^{-1} \left( \frac{a_{k+1} - a_k}{1 + a_k a_{k+1}} ight) = 	an^{-1} a_{k+1} - 	an^{-1} a_k$.$k = 1$ से $n-1$ तक इन पदों का योग करने पर एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी प्राप्त होती है:$\sum_{k=1}^{n-1} (	an^{-1} a_{k+1} - 	an^{-1} a_k) = (	an^{-1} a_2 - 	an^{-1} a_1) + (	an^{-1} a_3 - 	an^{-1} a_2) + \dots + (	an^{-1} a_n - 	an^{-1} a_{n-1})$.सभी मध्यवर्ती पद कट जाते हैं,जिससे केवल $	an^{-1} a_n - 	an^{-1} a_1$ शेष रहता है।अतः,व्यंजक $	an \left( 	an^{-1} a_n - 	an^{-1} a_1 ight) = 	an \left( 	an^{-1} \left( \frac{a_n - a_1}{1 + a_n a_1} ight) ight) = \frac{a_n - a_1}{1 + a_1 a_n}$ बन जाता है।चूंकि $a_n = a_1 + (n-1)d$,इसलिए $a_n - a_1 = (n-1)d$.अतः,परिणाम $\frac{(n - 1)d}{1 + a_1 a_n}$ है।

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$\sin \left(\tan ^{-1} \frac{4}{5}+\tan ^{-1} \frac{4}{3}+\tan ^{-1} \frac{1}{9}-\tan ^{-1} \frac{1}{7}\right) = $

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