જો $D(x) = \begin{vmatrix} x - 1 & (x - 1)^2 & x^3 \\ x - 1 & x^2 & (x + 1)^3 \\ x & (x + 1)^2 & (x + 1)^3 \end{vmatrix}$ હોય,તો $D(x)$ માં $x$ નો સહગુણક શું છે?

જો $y(x) = \left| \begin{array}{ccc} \sin x & \cos x & \sin x + \cos x + 1 \\ 27 & 28 & 27 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right|$,$x \in R$,હોય,તો $\frac{d^2 y}{d x^2} + y$ ની કિંમત શોધો.

જો $\left| \begin{array}{ccc} 1 + ax & 1 + bx & 1 + cx \\ 1 + a_1x & 1 + b_1x & 1 + c_1x \\ 1 + a_2x & 1 + b_2x & 1 + c_2x \end{array} \right| = A_0 + A_1x + A_2x^2 + A_3x^3$ હોય,તો $A_1$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $A=\begin{bmatrix} -1 & -2 & -3 \\ 3 & 4 & 5 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$, $B=\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$ અને $C=\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$ છે. જો $a, b$ અને $c$ અનુક્રમે $A, B$ અને $C$ ના શ્રેણિકોના નિશ્ચાયક (Rank) દર્શાવતા હોય, તો આ સંખ્યાઓનો સાચો ક્રમ કયો છે?

જો $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} \cos(2x) & \cos(2x) & \sin(2x) \\ -\cos x & \cos x & -\sin x \\ \sin x & \sin x & \cos x \end{array} \right|$,તો:
$A$. $(-\pi, \pi)$ માં બરાબર ત્રણ બિંદુઓ પર $f'(x) = 0$ થાય છે
$B$. $(-\pi, \pi)$ માં ત્રણથી વધુ બિંદુઓ પર $f'(x) = 0$ થાય છે
$C$. $f(x)$ તેની મહત્તમ કિંમત $x = 0$ પર પ્રાપ્ત કરે છે
$D$. $f(x)$ તેની ન્યૂનતમ કિંમત $x = 0$ પર પ્રાપ્ત કરે છે

ધારો કે $a, b \in R-\{0\}$,અને $I_2$ એ $2$ કક્ષાનો એકમ શ્રેણિક છે. તો બ્લોક શ્રેણિક $\begin{bmatrix} a I_2 & b I_2 \\ a I_2 & b I_2 \end{bmatrix}$ નો શ્રેણિકનો ક્રમ (rank) કેટલો થાય?